习题课：共点力平衡条件的应用
[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．
1．共点力作用的平衡状态：物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态． 2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：Fx合＝0，Fy合＝0.
3．平衡条件的四个常用推论： (1)二力平衡时，二力等大、反向．
(2)三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向． (3)多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向． (4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.
一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题
物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．
例1 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)
图1
答案 F＝mgtan θ 解析
甲
1
取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．
解法一 矢量三角形法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mgtan θ. 解法二 正交分解法 以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即 Fx合＝Tsin θ－F＝0，Fy合＝Tcos θ－mg＝0， 解得F＝mgtan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小． 针对训练 如图2所示，一质量为1 kg、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态，则推力F及
2
物块受墙的弹力为多少？(g＝10 m/s)
图2
答案 20 N 103 N
解析 物块受重力G，推力F和墙的弹力N作用，如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力等大反向．
故有F＝＝
sin 30°
G1×10 N
＝20 N 12
N＝Gtan 60°＝1×10×3 N
＝103 N
二、动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法． 1．图解法
(1)特征：物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变
2
力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．
2．相似三角形法
(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．
例2 如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )
图3
A．小球对薄板的压力增大 B．小球对墙的压力减小
C．小球对墙的压力先减小后增大
D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力
解析 根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和
使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确． 答案 BD
例3 如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )
图4
A．N变大，F变大 B．N变小，F变大 C．N不变，F变小 D．N变大，F变小 解析 小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形
3
由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OB F＝G·AB/OB N＝G·OA/OB AB变短，OB不变，OA不变， 故F变小，N不变． 答案 C
三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题
1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．
注意 隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快． 例4 如图5所示，A、B两个物体的质量都是1 kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因
2
数μB地＝0.2.g＝10 m/s.则两个物体在匀速运动的过程中，
图5
(1)对A、B分别画出完整的受力分析． (2)A、B之间的摩擦力大小为多少． (3)拉力F的大小为多少．
解析 (1)以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．
(2)对A：由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.
(3)以A、B整体为研究对象，
4
由于两物体一起做匀速直线运动， 所以受力如图．
水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力， 即F＝f＝μB地NB， 而NB＝GB＋GA，
所以F＝0.2×(1×10＋1×10) N＝4 N 答案 (1)见解析图 (2)0 (3)4 N
1.矢量三角形法?合成法?.
2.动态平衡问题：?1?图解法；?2?相似三角形法. 3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.
1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )
图6 A.C.
31
mg，mg 2231
mg，mg 42
13
B.mg，mg 2213D.mg，mg 24
答案 A
解析
分析结点c的受力情况如图，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得
F1＝Fcos 30°＝
3mg 2
F2＝Fsin 30°＝mg
选项A正确．
2．(动态平衡问题)用细绳OA、OB悬挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和
12
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