北京理工大学
微积分-常微分方程解法
常微分方程各种解题方法
程功 2011/2/16
1.几个基本定义
（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数
分类2:
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程F(x,y,y?)?0,y??f(x,y);
高阶?n?微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0,y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).
分类3: 线性与非线性微分方程.y??P(x)y?Q(x),x(y?)2?2yy??x?0;
?dy?3y?2z,??dx分类4: 单个微分方程与微分方程组.?
?dz?2y?z,??dx（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.
微分方程的解的分类：
① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例y??y,通解y?Cex;
y???y?0,通解y?C1sinx?C2cosx;
② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
??y??f(x,y)一阶:?过定点的积分曲线;
y?y0??x?x0??y???f(x,y,y?)二阶:?过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
??y?y,y?y00x?x0??x?x02.可分离变量的微分方程
?dy25可分离变量微分方程的形式g(y)dy?f(x)dx例如?2xy?y5dy?2x2dx,
dx44解法：设函数g(y)和f(x)是连续的,?g(y)dy??f(x)dx设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函数,G(y)?F(x)?C为微分方程的解.
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3.齐次方程
dyy?f()的微分方程称为齐次方程. 形如dxxydydu?u?x, 解法：作变量代换u?,即y?xu,?xdxdxduduf(u)?u?f(u), 即?.（可分离变量的方程） 代入原式u?xdxdxx（1）当f(u)?u?0时,得?du?lnC1x,
f(u)?uy即x?Ce,（?(u)???u)?()duy将u?代入,得通解x?Cex, ）xf(u)?u（2）当?u0,使f(u0)?u0?0,则u?u0是新方程的解,代回原方程,
得齐次方程的解y?u0x. 4．可化为齐次的方程 定义形如dyax?by?c?f()的微分方程 dxa1x?b1y?c1当c?c1?0时,为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：令x?X?h,y?Y?k，（其中h和k是待定的常数）dx?dX,dy?dY
dYaX?bY?ah?bk?c?ah?bk?c?0, ?f()?dXa1X?b1Y?a1h?b1k?c1?a1h?b1k?c1?0,（1）
a1b1?X?x?h,dYaX?bY?有唯一一组解. ?f()得通解代回?a2b2dXa1X?b1Y?Y?y?k，a1b1dyax?by?c???,方程可化为?f(),令z?ax?by, abdx?(ax?by)?c1（2）
则dzdy1dzz?c?a?b，(?a)?f().可分离变量. dxdxbdx?z?c1 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程
(1)f(x?y)(dx?dy)?g(x)dx令u?x?y,du?dx?dy,方程化为f(u)du?g(x)dx (2)f(xy)(xdy?ydx)?g(x)dx令u?xy,du?xdy?ydx,代入方程得f(u)du?g(x)dx
yyxdy?ydxg(x)(3)f()(xdy?ydx)?g(x)dx令u?,则du?,f(u)du?dx 代入方程得22xxxx2
(4)f(x2?y2)(xdx?ydy)?g(x)dx令u?x2?y2, 则du?2xdx?2ydy,代入方程得
f(u)du?2g(x)dx
6.线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy?P(x)y?Q(x) dx当Q(x)?0,上方程称为齐次的.当Q(x)?0,上方程称为非齐次的. 例如
dydx?y?x2,?xsint?t2,线性的; dxdtyy??2xy?3,y??cosy?1,非线性的。
一阶线性微分方程的解法
dy（1）线性齐次方程?P(x)y?0.(使用分离变量法)
dxdydy??P(x)dx,????P(x)dx,lny???P(x)dx?lnC, yy??P(x)dxy?Ce. 齐次方程的通解为
（2）线性非齐次方程讨论?dy?P(x)y?Q(x). dx?dy?Q(x)???P(x)?dx, y?y?Q(x)Q(x)dx??P(x)dx,设?dx为v(x),?lny?v(x)??P(x)dx, yy两边积分lny??即y?ev(x)e??P(x)dx.非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:C?u(x) ?作变换y?u(x)e?P(x)dx??P(x)dx??P(x)dx??y?u(x)e?u(x)[?P(x)]e,
?P(x)dx?Q(x), 将y和y?代入原方程得u?(x)e?积分得u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
??P(x)dx??P(x)dxP(x)dxP(x)dx??P(x)dx???Ce?e??Q(x)edx y?[?Q(x)edx?C]e对应齐次方程通解非齐次方程特解
7.伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1) dx3
方程为线性微分方程.当n?0,1时，方程为非线性微分方程. 当n?0,1时，解法:需经过变量代换化为线性微分方程.
dydzdy?P(x)y1?n?Q(x),令z?y1?n,则?(1?n)y?n， 两端除以yn，得y?ndxdxdxdz代入上式 ?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x),
dx求出通解后，将z?y1?n代入即得y1?n?z?e??(1?n)P(x)dx(1?n)P(x)dx?(?Q(x)(1?n)edx?C)
8.可降阶高阶微分方程 （1）y???f(x)型的微分方程 方程特点：方程右端仅含有自变量x
只需积分两次就可以得到方程的通解.
y???f(x)dx?C1y??[?f(x)dx?C1]dx?C2??[?f(x)dx?dx?C1x?C2
这种逐次积分的方法可以用于解更高阶的方程y(n)?f(x) 依次通过n次积分, 可得含n个任意常数的通解 . （2）y???f(x,y?)型的微分方程 方程特点：方程右端不显含未知函数y
设y??p(x),则y???p?,原方程化为p??f(x,p)（一阶微分方程） 设其通解为p??(x,C1)则得y???(x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解y???(x,C1)dx?C2 （3）y???f(y,y?)型的微分方程 方程特点：右端不显含自变量x
则y???令y??p(y),即把y作为自变量，P为新的未知函数，dpdpdydp ???pdxdydxdy故方程化为pdp?f(y,p)（一阶微分方程）设其通解为p??(y,C1), 即得y???(y,C1) dydy?x?C2
?(y,C1)分离变量后积分, 得原方程的通解?9.线性方程解的结构
(n?1)?n(x)y?f(x). （1）n阶线性非齐次微分方程y(n)?P(x)y???P1n?1(x)y?P4