x?y?2?0相切.A、B是椭圆的左右顶点，直线l 过B点且与x轴垂直，如图. (I)求椭圆C的方程；
(II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于P, Q两点，如果?35?OP.OQ??29(O为坐
标原点)，且满足|PM|?|MQ|?tPM.MQ，求实数t的取值范围.
21. (本小题满分1
4
分） e2x已知函数. f(x)?x的定义域为(
0,+
?) (
e
是自然对数的底数).
(I)求函数y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值; (II)若
x>1
时，函数y=f(x)的图象总在函数g(x)?2tlnx?tx?t的图象的上方，求
实数t的取值范围；
n(III)求证：?i?11i.e2i?78e
绵阳市高2010级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．
BDACA BCDBC
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
2 2211．2-i 12．11 13．5 14．3 15．②④
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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．
则由题意得年销售量为100-2x，
∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x+6x+200=-0.2(x-15)+245． 故当x=15时，y取最大值．
此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．
∴ 当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．?????????????4分 （Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．
C4?C5222
2
∴ P(X=0)=
C10112?16451；
1C4C1?C4C5P(X=0．5)=
C5C111C10?545?192?2445；
P(X=1)=
C102．
∴ X的分布列为：
16X P 0 16450．5 24451 19 24117∴ X的数学期望E(X)=45×0+45×0．5+9×1=45．
17∴ X的数学期望为45．?????????????????????12分 17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，
∵ △PAB为等边三角形， ∴ PO⊥AB．①
又平面PAB⊥平面ABCD， ∴ PO⊥平面ABCD， ∴ PO⊥AD．
∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD⊥AB．② ∵ AB与PO交于点O，
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由①②得：AD⊥平面PAB，
∴ 平面PAD⊥平面PAB． ????????????????????6分
（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3， ∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0，3)，D(-1，3，0)．
????????????3DFAPAD∴ =(2，-2，0)，=(1，0，)，=(0，3，0)，
可求得平面ADP的法向量n=(3，0，-1)， 若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则
????DF?n3|????|?????2 sinθ=|cos
z P A OD y 又由图形可知，θ为锐角，
1B xC ∴cosθ=2．
1∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为2． ??????????12分
=4（+）?126，解得ω=2． 18．解：（Ⅰ）由图知：
f()?sin(2???)?11212∵ ，
2??????∴ 6????2k???2(k?Z)??2k???3(k?Z)，即
?3．
．
?2????2，得
??由
f(x)?sin(2x??∴
f(x?)3．
?4)?sin[2(x??4)??3]?sin(2x??∴
6，
)sin(2x??即函数y=g(x)的解析式为g(x)=
A?Bg(C?)6． ????????????6分
?3（Ⅱ）∵ 2sin
2
2)?1=
?，
∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+2)，
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?∵ cos(A+B)=-cosC，sin(2C+2)=cos2C，
于是上式变为cosC=cos2C，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，
?1解得cosC=2或1（舍），
2∴ C=3?．
c由正弦定理得：sinC=2R=4，解得c=23，
?1a?b?122ab22于是由余弦定理得：cosC=2=∴ a+b=12-ab≥2ab，
2
2
，
∴ ab≤4(当且仅当a=b时等号成立)．
13∴ S△ABC=2absinC=4ab≤3．
∴ △ABC的面积的最大值为3． ???????????????12分 19．解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，
解得d=2．??????????????????????????3分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，
11∴
anan?11=
(2n?1)(2n?1)1a2a31a3a4?122n?11anan?1(1?12n?1)．
∴ Tn=
a1a2???????
?)2n?1 11=21(1?13?113?15?115?17?????12n?1=2(1?2n?1≥3，
1(m?5m)2)又∵ 不等式Tn≥18112对所有的n∈N*恒成立，
∴ 3≥18(m?5m)，
化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．
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∴ m的最大正整数值为6．????????????????????8分 （Ⅲ）由d=2，得 an=a1+2n-2，
2?anan21?1n?a12?1bn?又∵ =1+
an1=，
f(x)?1?又函数
x?1?a1a??a????，1?1??1?1，????x?a1?1?2?和?2?上分别是单调减函数， 在
且
2时y<1；
x?1?a12时y>1．
∵ 对任意的n∈N*，都有bn≤b4成立，
1?a12<4，
∴ 3<
解得-6
c?32．
20．解：（Ⅰ）由题可得：e=a∵ 以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+2=0相切，
0?0?22∴ 1?12=b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
x2∴ 椭圆的标准方程为4?y?12．?????????????????5分
????????OP?OQ（Ⅱ）当直线的斜率为0时，
=-4?[5，9]，不成立；
?3?2∵ 直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)， 直线的方程可设为：x=my+1，
x2代入椭圆方程4?2m?y?12得：(m2+4)y2+2my-3=0
?322∴ y1+y2=m?4，y1y2=m?4，
4?4m22而x1x2=(my1+1)(my2+1)=m?4，
∴
????????OP?OQ1?4m22=x1x2+y1y2=m?4，
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