青海省第一届大学生数学建模大赛
参赛论文
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日期：2013年7月8日
高速公路发展及投资预测
摘要
高速公路被誉为一个国家走向现代化的桥梁，是发展现代交通业的必经之路，而中国在这条路上，刚迈出了非同寻常的一个个令人赞叹的脚印。然而，制约高速公路建设发展的因素主要是GDP，而GDP又与CPI有着明显的制约关系，尤其是通货膨胀的影响尤为严重，所以，我们认为有必要对GDP、CPI 的相关数据进行分析，以便更好的反映高速公路的修建与GDP 等因素的关系，确定相关模型。
首先在收集数据的基础上建立了一元线性回归模型：利用spss对1984到2010年的GDP相关数据和高速公路修建公里数进行数据拟合，得出线性方程并以30年规划为例，预测出未来高速公路具有良好的发展前景；然后用spss中的Compound模型拟合七座以下小型客车的发展趋势并建立复合模型，预测出未来30年小型客车在高速公路上行驶的数量，然后利用经济学中“利润=收入-成本”，假设通货膨胀率为4%，预测出未来30年内的利润比较高，具有良好的投资前景；最后以CPI的变化为分析依据，分别考虑三种不同情况，即在通货膨胀时、通货紧缩时以及正常情况下，分析得出结论：未来30年内高速公路收费标准将会上调。
综合以上结果，我们认为在未来30年内，高速公路的发展和投资呈现稳步上升的趋势，并且高速公路的收费标准将会有所上调。
关键词：spss、高速公路、GDP、CPI、线性回归、compound模型
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一、问题重述
背景：“要致富，先修路”，1984年至2012年，随着中国经济的不断增长，中国高速公路的通车里程已到96000公里，成功超越美国成为世界上规模最大的高速公路系统。正因为高速公路的不断发展，国家投资力度大，导致债务余额高达2.32万亿元，国家通过高速公路收费的手段来偿还债务，更好地让高速公路行业不断发展。 问题描述：
1、考虑未来GDP增长为6%，以30年规划计算，预测未来高速公路发展趋势；
2、以30年投资计算，讨论通货膨胀等对未来高速公路投资收益的影响；
3、 结合1、2问题规划未来高速公路收费策略。
二、问题分析
首先收集1984-2012年GDP总值数据、1984-2012年高速公路行驶车辆数、CPI数据，然后利用spss软件对原始数据进行分析，将表中数据绘成对应的散点图像。
在问题（1）中，观察图像具有线性关系，然后对其进行拟合（如图1所示），拟合度达到0.957，具有很高的拟合度。我们认为GDP总量与公路修建里程呈线性变化（一元线性变化）。选择一元线性回归的模型来解决该问题。
在问题（2）中，通过对车辆数据分析并进行拟合，拟合度达到0.958，我们决定用复合函数模型的方法来解决：先求出到2042年时
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高速公路行驶车辆数量，最后求得未来30年高速公路的投资收益。
在问题（3）中，结合问题（1）（2）的结果，考虑到CPI对收费标准的影响，通过对在通货膨胀时、通货紧缩时以及正常情况下收费标准最小值的分析，估计出未来30年的收费最低标准，得出未来高速公路收费政策的发展趋势。
三、模型假设
1.高速公路的里程长度随着GDP总量的增长而不断增长； 2.随着车辆的增多，高速公路呈现越来越快的发展；
3.在CPI和GDP的共同影响下，未来高速公路里程逐年增长，收费政策有所改变。
四、定义与符号说明
a???????? 因变量估计值 b???????? 回归标准差
Xi???????? 自变量 Yi???????? 因变量
si???????? 平均每天每辆车在高速公路上行驶的公里数
P???????? 利润
Xmin???????? 高速公路收费最低标准
Xmin1????????正常发展情况下高速公路收费最低标准 Xmin2????????通货膨胀时高速公路收费最低标准
3
Xmin3????????通货紧缩时高速公路收费最低标准
XXY2012????????2012年GDP总值 ???????未来30年GDP总值
2012?302012?30???????未来30年高速公路修建总里程
S????????? 未来30年高速公路上的行车数量 t????????? 时间段
五、模型的建立与求解
5.1 一元线性回归模型（逼近理想曲线） 5.1.1基本原理
在线性模型中，变量之间的关系呈线性关系。它可以描述被解释变量有哪些主要的影响因素，对其进行分析，然后采取相应对策，给出建议，使之更好发展。
一元线性回归模型
a=y-bx
??b??xyii?1ni?nxy?nx2???
?x2iYi=a+bXi +? （ i=1,2,3，?，n）
Yi为被解释变量，Xi为解释变量，a与b为待估参数， ?为随机
干扰项。
?随机干扰项对本回归函数的影响较小，故忽略随机干扰项对模
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