（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，无法使相邻的两个
（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，无法使相邻的两个数字6、7都在偶位上。 （5）如果9、7、6、5、1在奇位上，无法使相邻的三个数字2、3、4都在偶位上。
（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相邻的两个数字6、7都在奇位上，因此必在6、7之间剪一刀，另一刀的剪法有三种：
第一种剪法得到的三个数的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608??1
第二种剪法得到的三个数的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中间一段的数是56。 第三种剪法得到的三个数的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650??2。 （7）如果9、7、5、4、3在奇位上，无法使相邻的两个数字1、2都在偶位上。 让静止的图形动起来
以静变动，让静止的图形动起来，这是一种动态的思想方法，这种思想方法在求解几何图形面积时是常常用到的。现举例如下：
一、旋转的思想方法
将所给图形中的某一部分绕一个固定点旋转一定（或适当）的角度，变为较明显的简单而又直观的图形。 例1 如图1中的两个三角形都是正三角形，大三角形的面积是小三角形面积的多少倍？
分析与解 观察图1可见，只需将小三角形绕圆心旋转60°，得到如图2所示的图形。小三角形将大三角形分别割成面积相等的四块。因此大三角形的面积是小三角形面积的4倍。
例2 求图3中阴影部分的面积。（π取3）（单位：厘米）
分析与解 观察图3发现，只要将图中右边的阴影部分绕圆心逆时针方向旋转90°就得到图4所示的形状。所求的阴影部分的面积就是大扇形的面积与空白部分（三角形）面积的差。即
二、移动的思想方法
1.点的移动：将图中的某一点看作一个“动点”沿直线移动，使原来分着的空白部分合并在一起变成一个简单明了的图形。
例3 如图5，已知长方形的长是8厘米，宽是4厘米，图中阴影部分面积是10平方厘米，求OD长多少厘米？
分析与解 观察图5，把图中的阴影部分看作两个三角形（即△ABO和△CBO），将这两个三角形中的A点和C点分别看作“动点”平移到如图6所示的A'点和C'点（等底等高，面积相等），等积变形为一个简单的三角形A'C'O。因为阴影部分面积是10平方厘米，A'C'的长为4厘米，所以OB的长度为（10×2÷4=）5（厘米），因此OD的长度是（8-5=）3（厘米）。
2.面的移动：将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形转化成简单的图形，使原来面积不等变成相等。
例4 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合（如图7），已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积为14，绿色面积是10，那么正方形盒子的面积是多少？
分析与解 根据题目的条件，观察图7，发现黄色正方形沿着正方形盒子的边线慢慢向左平移，黄色纸片的小部分逐渐被红色纸片所盖没，绿色纸片却逐渐在增加，黄色纸片盖住的部分就是绿色纸片增加的部分。直移到红色与黄色两纸片下上对齐。此时绿色纸片也暴露到了最大的程度（如图8），而且黄色纸片与绿色纸片的面积是相等的。即黄色和绿色的面积都为（（10+14）÷2=）12。我们把留出的空白部分假设为白色，从图中可看出，红、黄两纸片有一边相同，绿、白两纸片也有一边相同，所以它们各自面积之比等于相应边长的比。便有：
因此，所求正方形盒子的面积为 20+12+12+7.2=51.2 三、翻折的思想方法
将所给图形的某一部分以某一直线为对称轴翻折，使原来复杂的图形变为直观图形。
例5 如图9，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。
分析与解 观察图9，根据题目的条件可知直线AB将原大长方形分成大小一样的两个小长方形。只需把下面的小长方形以直线AB为对称轴向上翻折，就把下面长方形内的阴影部分合并到如图10所示的上面的长方形中。我们知道阴影部分的面积就是小长方形面积的一半，即所求阴影部分的面积为
8×（6÷2）÷2=12。
例6 在图11中，圆的半径为r，求阴影部分的面积。
分析与解 以图11中的水平直径作为对称轴，将上半部分往下翻折，使阴影部分拼合成两个三角形（如图12）。可以看出，所求的阴影部分面积等于梯形面积与空白部分（即三角形面积）的差。所以
阴影部分面积=（2r+4r）×r÷2-2r×r÷2=2r2。 运用“取中法”解题举隅
根据题目特征，以中间一个数为突破口进行解题，是一种常用的解题策略。运用取中法解答课本中的思考题和数学竞赛题，不仅能激发学生的学习兴趣，而且能使解题思路简捷、达到事半功倍的效果。现举数列说明。
一、运用取中法解答数值计算
对于由相近的一组数相加的计算题，解答时可选择一个中间数作为计算基础，通过“移多补少”变加为乘，能使计算简便。
例1 计算
（4845+4847+4836+4838+4840+4839+4842）÷7
分析和解 例1括号内是7个相近的数相加，按顺序排列可知中间的数是4840，以4840为基数，可作如下计算：
原式=[4840×7+（5+7-4-2-1+2）]÷7=4841 二、运用取中法解答整除问题
涉及整除问题的填数题，可根据填数的诸种可能性，先假设中间一个数进行试探，进而再进行调整，可使问题得到解决。
例2 如果六位数，1992□□能被95整除，那么，它的最后两位数是_____。 （1992年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第4题）
分析和解最后两位数只能是“00”到“99”一百个数中的一个数，先假设这两位数是中间数50。那么，199250 ÷95=2097??35，显然，假设偏大35，故从199250中减去35所得的差能被95整除。即：199250-35=199215，所以，它的最后两位数是“15”。
三、运用取中法解答估算问题
在小学数学竞赛中，常出现这样一类题，它不要求算式的精确值，只要求算式结果的整数部分。对这类题，解答时取中间一个数代换其它数进行计算，先求出近似结果，再加以确定能较快地求出结果。
分析和解 观察可知，繁分数中共有12个分母数字较大的分数，按常规的通分方法显然行不通。若取最大值和最小值来讨论算式的取值范围，也较
找出算式的整数部分。
因此，S的整数部分是165。 四、运用取中法巧填数字题
填数字是一种常见的数学题型，其填法多种多样，但以中间数为突破口，通过分组试调，得到的一种解法，过程简捷、规律性强，便于操作，学生尤其是低年级学生易于接受。
例4 把1、3、5、7、9、11、13填进7个空中，使每个圆圈里四个数字的和都相等。（九年义务教材第四册88页思考题）
分析和解 观察题图发现，图中有一中心格，它是三圆交叉的公共格，此处所填的数三个圆圈都得用。因此，确定此格的数字至关重要，由于中间数7即是7个数的平均数（49÷7=）7，所以中心格应填7，中间数把另6个数分成两组，前面三个数为较小数，后三个数为较大数，将较小数1、3、5填入三个较小空中或填入三个较大的空中，再将三个较大数9、11、13与之搭配，采取较小数配较大数的方法试调。使每个圆圈里的四个数的和都相等。这样便得到如下两解。
偶数题详解加法与减法 【内容概述】
各种加法和减法的速算与巧算方法，如凑整，运算顺序的改变，数的组合与分解，利用基准数等。 【例题分析】
1．计算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
分析1：通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10，因此可以设一个基准数。 详解：我们不妨设1986为基准数。 1966＋1976＋1986＋1996＋2006
=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20） =1986*5 =9930
评注：通过仔细观察题目后，通常会发现一些规律。找到规律，就能轻而一举的解决问题。
分析2：等差数列的个数是奇数个时，中间数是它们的平均数 详解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006 ＝1986×5 ＝9930
2．计算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890 答案：34
分析：这些数粗略一看好象是杂乱无章，其实不然。通过对各位数的观察， 详解：
先看个位：3+4+5-6+7-8+9-0=14
再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意个位的进位：2+1=3（1是个位进位来的） 最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0 这样：我们就得到了34这个数
评注：做这种有技巧的计算时，要先通过观察，找到规律后再逐一化简。把它变成一道很容易且学过的题。就像这道题一样，本来是3位数加减法，而我们把它变成了一位数加减法。但需要注意的是：千万不能忘了前一位的进位。
3．计算：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847） 答案：20000
分析：这个题目一眼看去没有办法简单运算，但如果把括号内得数算出，便发现了一些规律。
详解：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847） =6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996 =6472+5319+9354+6839-1996*4 =6472+5319+9354+6839-7984
=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84） =（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84） =（6472+5319+6839）+1300+70 =18630+1370 =20000 评注：在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。
4．（1）在加法算式中，如果一个加数增加50，另一个加数减少20，计算和的增加或减少量？ 答案：增加30
分析：此题并非很难，只是初学者会认为缺少条件。其实这与两个加数与和的本身值是无关的。因为计算的只是“和的增加或减少量”。
详解：如果我们用“A”来代替一个加数，B代表另一个加数，（A+B）代表和 （A+50）+（B-20） =（A+B）+30 评注：某些题目的某些条件并不是我们所需知的，用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。
（2）在加法算式中，如果被减数增加50，差减少20，那么减数如何变化？ 答案：增加70
分析：与上题一样。其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。 详解：我们用“A”来代表被减数，B代表减数，（A-B）代表差 减数=被减数-差
=（A+50）-[（A-B）-20] =B+70
评注：用字母表示数的方法用在这里很合适。一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消，这样会给计算带来方便。
5．计算： 1＋2＋1
1＋2＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 ???????
根据上面四式计算结果的规律，求：1＋2＋3＋??＋192＋193＋192＋??＋3＋2＋1的值。 分析：通过观察，我们发现：所有数的和＝中间数×中间数
详解：1＋2＋3＋??＋192＋193＋192＋??＋3＋2＋1 ＝193×193 ＝37249
评注：这个数列我们特别讲一个很复杂的方法，但很锻炼大家的思维的。 设 1式.............1+2+1 2式.............1+2+3+2+1 3式.............1+2+3+4+3+2+1 4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1 5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 ??
观察发现1式与2式差5，2式与3式差7，3式与4式差9，4式与5式差11??
又通过观察发现每两式相差的数都相差2(例如：1式与2式差5，2式与3式差7，7-5=2；再例如：2式与3式差7，3式与4式差9，9-7=2）
再观察 1式与2式差5 5与2式中的3差2 2式与3式差7 7与3式中的4差3 3式与4式差9 9与4式中的5差4
4式与5式差11 11与5式中的6差5
观察上面这一步 最后相差的都是式子中间的数减1
所以最后一个式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）与它上面一个式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差为：193+（193-1）=385 所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1） =（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385） =4+390*[（385-5）/2+1]/2 =4+390*191/2 =4+37245 =37249
当然，这样的方法考试不可取，平常炼一下，多见识几种方法还是有好处的。
6．请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。 答案：9、77、231、693、985。
分析：首先，我们观察数的特征，要使得5个数的和恰好是1995，那么我们需要通过求出3到4个数的和，使它们接近1955，剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。
详解：通过我们观察数的特征，我们将几个较大的数相加，得到：985+693+231=1909 1995-1909=86
这样比1995还相差86
所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可 77+9=86
所以这五个数是：
9、77、231、693、985。
评注：一些题目往往不一定要按顺序思考，利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995，用差来作为寻找的目标。
7．题目：从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后再减去253，再加上244......，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？ 答案：195次
分析：这道题目看似简单，因为一个循环减少9，有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。其实还隐藏着一个问题：如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253，而减去253后就等于0。我们来实验一下所述情况有没有可能发生 1999-253=1746
1746/(253-244)=194 194+1=195
恰好如我们所猜测的。 详解：1999-253=1746 1746/(253-244)=194次
但是最后一次减去也是一次运算：194+1=195次
评注：结果正如分析所述，194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。为了需要，我们先减去了253，这样算起来会比后减253更方便
和差倍问题之一
2．三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。
解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数 （100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数 综合：［（180＋20）÷2－2］÷2＝49（人）——第一小组的人数 答：第一小组的人数是49人。