调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：
从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，(45＋75)就是甲队剩下人数的 3＋1＝4(倍)。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。
解：甲队调动后剩下的人数为
(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲队调入乙队的人数为45-30＝15(人)。 答：甲队要调15人到乙队。
例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？ 仿照例3的分析可得如下解法。
解：兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6＋1)倍，根据和倍公式，妹妹剩下 (53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹给哥哥书24-11＝13(本)。 答：妹妹给哥哥书13本。
例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？
分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：
根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数) (160-20＋10)÷(5＋1)＝25(个)，
故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(个)，大白兔原有蘑菇 160-15＝145(个)。
答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。 差倍应用题
与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是： 已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。 上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：
从线段图知，“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍，所以， 小数=差÷(倍数-1)。
上式称为差倍公式。由此得到 大数=小数+差，
或
大数=小数×倍数。
例如，大、小数之差是152，大数是小数的5倍，则 小数=152÷(5-1)=38，
大数=38＋152=190或38×5＝190。
例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？
分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。
解：徒弟一天生产零件 128÷(3-1)=64(个)， 师傅一天生产零件
128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。
答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。
例2 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？ 解：“差”＝30，倍数=4，由差倍公式得短的电线长 30÷(4-1)＝10(米)， 长的电线长
10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。
答：短的电线长10米，长的电线长40米。 解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。
例3 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？
分析：画线段图如下：
由上图可知，“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是56-34=22(人)。
解：由差倍公式得调动后乙队有 (56-34)÷(3-1)=11(人)。 调动后甲队有
11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。 答：调动后甲队有33人，乙队有11人。
例4 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？
分析与解：画线段图如下：
从上图知，当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”
数是甲桶里剩下的油。“差”是什么呢？从图中可知，“1倍”与“3倍”之间的差26＋14＝40(千克)就是我们要找的“差”。所以，由差倍公式知，
“1倍”数=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。 故甲、乙桶原来各有油 20＋26＝46(千克)，
或 20×3-14＝46(千克)。 答：原来各有46千克。
例5 小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？
分析与解：“小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书(见下图)。“差”是
20＋5＋11＝36(本)。
根据和差公式得： 小云现有书
(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)。 小云原来有书18＋5＝23(本)， 小雨原来有书23＋20＝43(本)。
答：原来小云有23本书，小雨有43本书。 运用韦恩图解题的三个层次
由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三个层次：识图��用图��构图。
一、识图
是指给出韦恩图形式，用集合的交集、并集及补集等集合的运算表示。
例1. 如图1，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
图1
A. C.
B. D.
P），且在S的外部（转化为集合语言就是CIS），
解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是M
故选C。
例2. 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（ ）
A. B. C.
D.
图2
解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外（转化成集合语言就是化成集合语言就是
二、用图
例3. 设U为全集，非空集合P、Q满足集
，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空
），故选C。
），右边部分在B内且A外（转
，则这个运算表达式可以是__________（只要写出一个表达式）。 解：将集合语言用韦恩图表示，如图3，极易得到多种答案：
图3
（1）（2）（3）
例4. 已知全集A. C.
B. D.
，画出韦恩图（如图4），显然
，故选C。
；
，则（ ）
解：根据题意，易得
图4
例5. 设全集
，
＝
{9}，求A，B。
分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷。
解：由U＝{1，2，3，?，9}，根据题意，画韦恩图，如下图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}
图5
三、构图
对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了。
例6. 某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，即会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，
＝{既会讲英语又
会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8（人）
图6
例7. 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？
解：设全集U＝{做理化实验的50名学生}，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，＝{两种实验都做对的学生}，并设
，则由韦恩图（图略），知
，解得
即两种实验都做对的有25人。 巧算年龄
［题目］某村有甲、乙、丙、丁四位老人。他们四个人的平均年龄是82岁，甲、乙两位老人的平均年龄比丙、丁两位老人的平均年龄大2岁，丙老人比丁老人小2岁。甲老人今年已经92岁了。求今年乙、丙、丁三位老人的年龄各是多少？
［分析与解］
由四位老人的平均年龄是82岁，可知四位老人的年龄之和为（岁）， 由甲、乙两位老人的平均年龄比丙、丁两位老人的平均年龄大2岁， 可知甲、乙两位老人的年龄之和比丙、丁两位老人的年龄之和大4岁。 因此可以求出甲、乙两位老人的年龄之和为
（岁），
因为甲老人今年92岁，所以乙老人今年（岁）。
由甲、乙两位老人的年龄之和是166岁可以求出丙、丁两位老人的年龄之和为因为丙老人比丁老人小2岁， 所以丙老人今年
（岁），
（岁），
丁老人今年（岁）。 打折问题
一种商品，按期望得到50％的利润来定价。结果只销售掉70％商品，为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售。这样获得的全部利润，是原来所期望利润的82％问打了几折？
解：假设成本为x，打折a，则定价为1.5x，期望利润为0.5x，