第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，?nj?ajsin(?jt_naqj??j)，?j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。 ＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
?n???nj??ajsin(?jt?naqj??j) （1）
jj2*2*?n????nj????nj????nj???nj??nj?
????????jjjj?j?由于?nj??nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可
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2以忽略不计。所以?n?2??nj j由于?nj是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
?2j?1T0?T00a2jsin(?jt?naqj??j)dt?12aj （2） 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，?nj的动能时间平均值为
1Tnj?T0?L0dx?T00?1?d?nj?2??wja2T01j222dt?Lasin(?t?naq??)dt??wLa?????jjjjjj ?02?dt??2T04???其中L是原子链的长度，?使质量密度，T0为周期。 所以Tnj?112?w2La?KT （3） jj422）式有?nj?2因此将此
KT 2PL?j2??nj??jj所以每个原子的平均位移为 ?n??2KTKT1? ?2PL?2PL?jjj
3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的
结果一一对应。
解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
??2n???(2?2n??2n?1??2n?1)m?牛顿运动方程
??2n?1???(2?2n?1??2n?2??2n)M?N个原胞，有2N个独立的方程
设方程的解
?2n?Aei[?t?(2na)q]?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]，代回方程中得到
2??(2??m?)A?(2?cosaq)B?0 ?2???(2?cosaq)A?(2??M?)B?0 12
A、B有非零解，
2??m?2?2?cosaq?2?cosaq2??M?2?0，则
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2} 2mM(m?M)2两种不同的格波的色散关系
1(m?M)4mM2???{1?[1?sinaq]2}2mM(m?M)2?2????(m?M)4mM2{1?[1?sinaq]}2mM(m?M)12
一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
???当M?m时
4?aqcosm24?aqsinm2，
???两种色散关系如图所示： 长波极限情况下q?0，sin(qaqa， )?22???(2
?m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为?和10?，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q?0,q??a处的?(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：
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??2n??(?1??2)?2n??2?2n?1??1?2n?1m?
??2n?1??(?1??2)?2n?1??1?2n?2??2?2nm?体系N个原胞，有2N个独立的方程
方程的解：
?2n?Ae1i[?t?(2n)aq]21i[?t?(2n?1)aq]2，令?1??1/m,?2??2/m，将解代入上述方程得：
22?2n?1?Be21222(?????)A?(?e(?e1?iaq221211iaq2??e221?iaq2)B?0??e1iaq222
2)A?(?12??2??2)B?0A、B有非零的解，系数行列式满足：
(?????),(?e211?iaq22121222?(?e211iaq2??e221?iaq2)??e1iaq222?0
2),?(?12??2??2)(?????)?(?e(?????)?(?e212222212222211iaq2??e??e22221?iaq2)(?e)(?e21211?iaq2??e??e22221iaq2)?0 )?0
1iaq21?iaq21?iaq21iaq222因为?1??、?2?10?，令?0??1?c10c22得到 ,?2??10?0mm24(11?0??2)2?(101?20cosaq)?0?0
两种色散关系：???0(11?20cosqa?101)
22当q?0时，???(11?121)，
220???22?0???0
当q??a时，???(11?81)，
220???20?0???2?0
（2）色散关系图：
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3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有?(q)??0?Aq2 求证：f(?)?V11/2???,???0;f(?)?0,???0. ??023/24?A12＜解＞???0时，???0?Aq2?0f(?)?0,??0??0???Aq2?q?A依据?q?(q)??2Aq,f(?)?3?2?????0???12
V?ds，并带入上边结果有
?q?(q)?dsV1A1/2V11/2f???????4?????????? ??0331/2223/2?0?2???q?(q)?2??2A??0????2??AV
3.8、有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T2。 证明：在k到k?dk间的独立振动模式对应于平面中半径n到n?dn间圆环的面积2?ndn，且
L253s?2?ndn?kdk?kdk即?????d?则 22?2?2?v??????????33??d??2??3skT3skTkTkT????3s??d?mDBB?B??B??E??E0???/kBT??/kBT2?022?D2?v?e?12?v??e?12?v?2?2T?0时，E?T3,?Cv?(
2?xDDx2dx， xe?1?E)s?T2 ?T???q3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为F?U0?kBT??n?q?kBT??q?1????q证明:量子谐振子的自由能为F?U?kBT????n?1?ekBT?q?2kBT???? ????? ????经典极限意味着（温度较高）kBT???g 应用ex?1?x?x2?...
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