所以e???qkBT???q??1?????...
kBT?kBT???q2因此F?U???q?1???kT?1?1???qBn?kBTq2q?1??q ?q2????q?U?kT??0Bn???kBT?? ?其中U0?U?
3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1??，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。
E0???m0E0???g???d?将E0????3V1??和g????23?2代入积分有
2?vs2E0?3V994???N?，由于???k?得E?NkB?D mmmBD02316?vs882一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．
3.11、一维复式格子m?5?1.67?10?24g,00A，声学波?max。 ?max,?minM，光学波?4,??1.5?101N/m(即1.51?104dyn/cm),求（1）
m（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k时的平均声子数。
0（4）与?max相对应的电磁波波长在什么波段。
＜解＞（1），?Axam2?2?1.5?104dyn/cm311????3.00?10s, 24M4?5?1.67?102?1.5?104??4?5?5??1.67?1024dyn/cm4?5?1.67?1024?5?1.67?1024?omax?2??M?m?Mm??6.70?1013s?1
?Amax2?2?1.5?104dyn/cm1???5.99?1013s? 24m5?1.67?1016
A??max?6.58?10?16?5.99?1013s?1?1.97?10?2eVo（2）??max?6.58?10?16?6.70?1013s?1?4.41?10?2eV
o??min?6.58?10?16?3.00?1013s?1?3.95?10?2eV（3）nAmax?1eA??max/kBT?1?0.873,nOmax?1eO??max/kBT?1?0.221
nO1min?e??Omin/kBT?1?0.276
（4）??2?c??28.1?m
第四章 能带理论
17
4.1、根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们的特性．说明
2它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn)。 ＜解＞令k??*?a，k????a?k(x)?B?k(x) ，简并微扰波函数为??A000*??E(k)?EA?VB?0 n?? VnA???E0?k???E??B?0 取E?E?
带入上式，其中E??E0(k)?Vn
V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是
?n?x?ix?A?ina2An?a????A??(x)??(x)?e?e=sinx ????aL?L?0k0k?取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B
?n?x?ix?A?ina2An?a????A??(x)??(x)?e?e=cosx ????aL?L?0k0k? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射?akn波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。
18
4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数k??2a的0级波函数。
?2?2?1?i2?mxiximxi(m?)x1ikx1ikx11e?eea?e2a?ea?ea4 ＜解＞?(x)?LLLL*k1i2?ax?0,m?0,?(x)?e 第一能带：m?2aL?*k2?3??ixixi2?2?1*??,即m??1,（ea=e2a）??k(x)?e2a 第二能带：b?b?则b??b,m?aaL?x2?2?1i2?axi2a?x1i5*2a?,即m?1,?k(x)?e?e?e第三能带：c??c,m? aaLL
4.3、电子在周期场中的势能．
122? ? bm?2?b?(x?n)a?? , 当na?b?x?na2 V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
11a1a?bV(x)??V(x)??V(x)dx??V(x)dx
LLaba?b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是
19
1bm?2b2m?2?22V??V(x)dx?(b?x)dx?bxa?b2a??b2a??b?b1?x33b?b?12??6m?b。 ?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
?V(x)?V0?m?????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02bm?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式u2cosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx
?u2musinmu?2cosmu?sinmu得 ????2?3?mmEg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式
m?2Eg2?b 4.4、
?b0(b?x)cos22?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2
解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：
?E(k)??s?J0?sRs?近邻????ik??(Rs) J(Rs)e在面心立方中，有12个最近邻，若取Rm?0，则这12个最近邻的坐标是： ①
?aaaa(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0) 2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1) 2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1) 2222②
③
??由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此J(RS)有相同的值，简单表示为J1=J(RS)。又
由于s态波函数为偶宇称，即?s(?r)??s(r)
??????*∴在近邻重叠积分?J(Rs)???i(??Rs)??U(?)?V(Rs)???i(?)d?中，波函数的贡献为正
20