驾驶员四轮转向汽车闭环系统运动稳定性研究(8)

南京航空航天大学硕士学位论文汽车闭环操纵系统运动稳定性对汽车结构参数和四轮转向系统控制参数的灵敏度；并同时给出多个参数同时变化时闭环系统稳定性的摄动量，并与前轮转向汽车的结果进行了比较。仿真结果表明，本文的方法可以为汽车操纵稳定性的优化设计提供理论基础。４．１．２产生摄动的原因及其数学模型一般说来，造成实际的系统对于作为设计依据的额定模型存在着不可避免的参数摄动的原因有以下几点【３卅：（１）对任何实际系统，总不可能把它辨识得绝对精确。换言之，用系统辨识理论求得的系统数学模型只是相对准确的；（２）由于制造有容差，所以任何理论的构思及设计计算都不可能绝对准确地实现：（３）随着时间的推移，任何系统都会发生老化、磨损等性能的改变以及环境和运行条件的变化；（４）为了简化设计计算或便于数学处理，工程上常常有意把一些复杂的情况或数学模型简化或理想化。因而，相对于作为设计依据的这种简化的或理想化的模型来讲，真实系统就相当于是一种参数摄动的情况了。本文的汽车结构参数的摄动基本上属于第三种和第四种情况。例如整车质量、前后轮侧偏刚度以及整车质心至前后轴的距离这些汽车结构参数往往会随着汽车行驶过程中外界情况发生～些变化，这应该属于第三神情况：而本文所用到的前后轮控制参数为比例控制参数，这是一种对模型的简化和理想化，因此这应该属于第四种情况。４．２系统的灵敏度描述ｆ３４】系统的动态性能受参数变异影响的属性称为系统的灵敏度。有人把系统承受外界干扰作用的能力也看作是～种系统的灵敏度属性，一般文献中的系统灵敏度都是指前者，即指系统的参数灵敏度。系统的参数灵敏度可定义如下：系统的参数灵敏度是系统的参数变化对系统动态性能的影响，也即，参数变化对诸如系统的时间响应，状态向量，传递函数，或其它表征系统动态性能驾驶员一四轮转向汽车闭环系统运动稳定性研究的量的影响。为了便于分析与计算系统灵敏度问题，常用三种不同的灵敏度函数：绝对灵敏度函数，相对灵敏度函数及半相对灵敏度函数。绝对灵敏度函数的定义如下：如果系统变量Ｙ与参数ａ的关系为：Ｙ＝ｆ（ａ１，则绝对灵敏度函数为：彤；垒堕萼剑，式中ａｏ为参数口的额定值。ａａＩ口。本文的灵敏度分析就将采用绝对灵敏度函数进行灵敏度分析。４．３非对称矩阵特征值问题的矩阵摄动理论为了考察汽车参数对驾驶员一四轮转向汽车闭环系统稳定性的影响，我们仍旧需要从第二章中的式（２－１５）入手，因为系统的稳定性完全取决于式（２—１５）中的６Ｘ６系统矩阵Ａ的特征值情况。而矩阵Ａ是一个非对称矩阵，它的许多元素都是汽车结构参数的函数，结构参数的摄动导致矩阵元素的摄动，进而导致矩阵特征值的摄动，因此首先要对非对称矩阵特征值问题的矩阵摄动理论进行深入研究。参照陈塑寰的结构振动的复模态的矩阵摄动理论１３３】本文给出了～般非对称矩阵特征值的矩阵摄动法的相关公式。４．３．１基本方程式（２—１５）的系统矩阵Ａ是非对称的，对于非对称矩阵Ａ，有ＡＵ；ＳＵＡ７Ｖ：５ｙ（４—１）其中ｕ称为Ａ对应于特征值ｓ的右特征向量矩阵ｙ称为Ａ对应于特征值Ｓ的左特征向量矩阵容易证明左、右特征值是相同的。因此（４—１）的特征方程为ｄｅｔ（Ｓ—Ａ、；０（４－２）特征方程为Ⅳ次代数方程，在复域内有Ⅳ个特征根九，ｉ＝１，２，…，Ｎ，对应于＾的右，左特征向量“ｉ、ｕ应满足Ａｕ，。Ａ，“。（４－３）和南京航空航天大学硕士学位论文Ａ７ｕｊ＾ｕ（４—４）对于不同的特征根置和Ｓ，有正交关系”，１“ｆ２０（４－５、Ｖ，ＴＡ“ｊ＝０对特征向量进行双正交归一化：Ｕｉ“?。ｌ（４—６）ｉ。７＿ｉ。１（以上访与ｉｊ都是归一化的特征向量，为了表示方便，下文就将ｉ。写成ｖ：，将云。写成“！），综合（４—５）和（４—６），正交关系可写成』”，７“ｒ＝６Ｆ（４－７）ｌｖ，■蚝－置６“（当ｉ＝，时，屯＝１；当ｉ≠Ｊ时，６。ｉ＝０）４．３．２系统特征值对结构参数的灵敏度设ｂ为某一个汽车结构参数，其为驾驶员一四轮转向汽车闭环系统矩阵元素的一个变量，现将（４－３）式两边对结构参数ｂ求导，得：竺“．＋Ａ塑：堕“．＋＾．堕ａｂ‘ａ６ｄ６‘‘ａ６（４－８）式两边左乘ｖ．７，得：（４—８）＿７０∥．４Ｕ。ｒＯ石Ｕ．；等Ｆ¨¨７等根据（４—７），ｖｊＴ“：＝１，因此（４—９）式可写为（４＿。）杀叫７》＋（ｖｆＡ－柏篆对（４－４）两边转置，ｕ７Ａ㈤㈣ａ＾ｖ。７（４—１１）所以ｖ。ＴＡ一＾ｖ。７—０，代入（４一ｉ０），得：驾驶员一四轮转向汽车闭环系统运动稳定性研究堕叫ｒ竺“；ｄ扫ａ６‘’（４—１２）式（４－１２）是系统矩阵特征值对汽车结构参数的绝对灵敏度函数。利用（４－１２）式就可以求得（２－１５）所示驾驶员一四轮转向汽车闭环操纵系统运动稳定性对汽车结构参数和四轮转向系统控制参数的灵敏度。通过该灵敏度可以判断各个参数对汽车系统稳定性的影响程度。４．３．３非对称矩阵摄动法现设原矩阵Ａｎ经过微小扰动后得到矩阵Ａ陋】＿【Ａ】＋“Ａ】式中ｓ是一个小参数，与ｓ；０相对应的系统为原系统。根据摄动理论，将特征值和特征向量按小参数。展开为幂级数［Ｓ】；［Ｓｏ】＋ｓ［－Ｓ］＋ｓ２【ｓ：］＋??－【Ｕ】＝［Ｕｏ】＋￡【以】＋Ｅ２【ｕ２】＋??－Ⅳ】＝【ｒｏ】＋￡ｐ‘】＋￡２卜，２】＋?－ｔ摄动后的矩阵的特征值问题为（４一１４）（４—１５）（４一１６）（４—１３）（【Ａｏ］＋￡【Ａ】）【Ｕ］；［ｕｊ［ｓ】（【Ａ。］＋吼＾】）。［Ｖ】＝Ⅳ］［ｓ】由（４—７）得，特征向量矩阵正交化条件为（４一１７）（４—１８）【ｙ九ｕ】＝Ｉ角阵。（４一ｔ９）式中［ｕ］和Ⅳ】为摄动后的系统的右、左特征向量矩阵，ｉｓ］为相应的特征值的对将（４—１４），（４－１５），（４—１６）式代入（４－１７），（４－１８），（４—１９）式，对比ｓ的同次幂系数，可得：￡０：【Ａ】【砜］＝【Ｕ。］ＩＳ。】（４—２０）（４—２１）【Ａ】７［ｖｏ】｜Ｗｏ＂。】［％】７【ｕ。】；Ｉｆｌ：（４—２２）南京航空航天大学硕士学位论文【Ａ】【ｕ。卜［Ｕ］［ｓ。］＝【Ｖｏ］【Ｓ卜【Ａ１】Ⅳｏ】［Ａ。】７ｐ‘】一［Ｋ】【ｓ。］＝［Ｋ】【ｓ。】一【Ａ】７【Ｋ】（４—２３）（４—２４）（４－２５）隔】７［ｕ。】＋ｍ九Ｖｏ】＝０Ｓ２：［Ａ】【ｕ：］一【Ｕ：］ｉｓ。］?［“】【Ｓ】一【Ａ】［以】＋【Ｕ。】【ｓｚ】（４－２６）（４－２７）（４－２８）【Ａｏ］７吼卜％】【氐卜啊】【Ｓ卜ｈ］７ｍ】＋峨】【ｓ：】隔九【，：】＋％九‰】＋暇九Ｕ卜０方程（４—２３）～（４—２５）可求出特征值的一阶摄动【Ｓ］及右左特征向量的一阶摄动【Ｕ】及瞰］。将［ｕ。】按原系统的右特征向量展开［Ｕ１】；［砜】［ｃ１］一“，；＝Ｕｏｉｃｉｌ＋∑“∥ｃＦｌ式中【ｃ１］为待定展开系数矩阵，将（４—２９）式代入（４—２３）式，得：［Ａ。】［ｕｉ］［ｃ１】一［ｕｏ】［ｃ１】【ｓ。】；【Ｕ。］［．墨】一［Ａｄ［Ｖ。］将【Ｋ】７左乘上式，得（４—２９）（４—３０）Ｎｏ］１氐儿％］［ｃ１卜％九【，。］［ｃ１］［ｓ。］＿阢九‰】【ｓ。卜瞩九＾】［砜】利用［％九ｕ。卜，（４—３１）以及叽】７［Ａ０】【砜】ｌＩ其中Ｓ０１ｓ。……ｓ。。为［Ａ。］的特征值。～。．１【‰ＪＩ［ｓ。１ｓ。。］ｃ（？１，一ｃ（：１，［ｓ。１ｓ。。］＝ｃ?ｒ?，一ｐ，０，７＿????一ｃ—ｋ，【ｚｙ。，（４—３２）又［Ｓ】为对角阵，设阢】７［Ａ儿ｕ。】－【Ｐ】