L2(mve)?mr2??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]?
L2(mvr)?m(l?Rcos?)vrcos??mRsin2?vr
系统对z轴的动量矩为L??L1?L2。初始时，??0,??0,vr?u，此时系统对z轴的动量矩为
L0?m(l?R)u
当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为
L??J??m[(l?Rcos?)2?(Rsin?)2]??m(l?Rcos?)ucos??mRsin2?u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu
由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有L??L0，因此可得：
m(l?R)u?[J?(l2?R2?2lRcos?)m]??(lcos??R)mu
由上式可计算出方板的角速度为
??
2－11 取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为?，则系统对O轴的动量矩为：
根据动量矩定理有：
ml(1?cos?)uJ?m(l2?R2?2lRcos?)
LO?JO???l(2a??r)r2?
?
dLO??[JO??l(2a??r)r2]?dt??l(a?x)gr??l(a?x)gr
FOy FOx
P
整理上式可得：
???l(2x)gr[JO??l(2a??r)r]?
由运动学关系可知：?r?x?，因此有：??r???。上式可表示成： x
2
??2?lgr2x [JO??l(2a??r)r2]?x2?lgr22令??，上述微分方程可表示成：??x??x?0，该方程的通解为： 2JO??l(2a??r)r2
x?c1e?t?c2e??t
根据初始条件：t?0,x?x0,x??0可以确定积分常数c1?c2?
系统的动量在x轴上的投影为：
x0，于是方程的解为： 2x?x0ch?t
系统的动量在y轴上的投影为：
根据动量定理：
?px???rsin??lrd??2??lr2?2?lrx0?
? py??l(a?x)?r??l(a?x)?r??2?lx?r?2?lxx
由上式解得：
?x?F0xp?y?F0y?P??l(2a??r)g pFOx?2?lrx0?2ch?t，
2－14
取整
2Foy?P??l(2a??r)g?2?l?2x0ch(2?t)
T?1122mvA?mCvC22
mg
其中：vA,vC分别是AB杆的速度和楔块C的速度。 若vr是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据 复合运动速度合成定理可知：
vc?vAcot?，
vr vA
vC
因此系统的动能可表示为：
T?111222mvA?mCcot2?vA?(m?mCcot2?)vA222，
系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：
dT??W，
系统的动力学方程可表示成：
?12?2d?(m?mCcot2?)vA?(m?mcot?)vAdvA?mgvAdtC??2?
由上式解得：
aA?dvAmg?dtm?mCcot2?，aC?aAcot?
2－17 质量为m0的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为m(m0?3m)光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处??300时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。
A A
? ? R R vm0g e B B mg vr FN 图A 图B
解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为vr，物块的速度为ve，则系统的动能为
T?
设??0为势能零点，则系统的势能为
1111m0ve2?mva2?m0ve2?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]2222
V??mgRsin?
根据机械能守恒定理和初始条件有T?V?0，即
321mve?m[(ve?vrsin?)2?(vrcos?)2]?mgRsin?22(1)
系统水平方向的动量为：
px?m0ve?m(ve?vrsin?)(2)
根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有
3mve?m(ve?vrsin?)?0
由此求出ve?1vrsin?，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且??300最后求4得：
vr?4
下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为ar，物块的加速度为ae，对于小球有动力学方程
gR1gR,ve?15215
maa?m(ae?arn?art)?F?mg（a）
A
t ? ar R F? R F B m0g mg ae ae
FN 图C 图 D
对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有
A B m0ae?F?m0g?FN（b）
将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得
m(arn?aecos?)?F?mgsin?
vr2其中相对加速度为已知量，a?。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得
Rnr
m0ae?Fcos?
令??300，联立求解三个投影方程可求出
0?FN?m0g?Fsin?
ae?
2－18 取小球为研究对象，两个小球对称下滑，
设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：
473g94,F?mg,FN?3.6267mg21575
1?)2?mgR(1?cos?) （a） m(R?2mg
tam
将上式对时间t求导并简化可得：
????
每个小球的加速度为
gsin? (b ) Rm0g
FN
nmg am
取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理
将上式在y轴上投影可得：
tna?am?am??cos??R??2sin?)i?(?R???sin??R??2cos?)j?(R?
?maiiC??Fi
将(a),(b)两式代入上式化简后得
??sin??R??2cos?)?F?2mg?mgm0?0?2m(R?N0
FN?m0g?2mg(3cos2??2cos?)
FN?0时对应的?值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成
m0?02m
3m11上述方程的解为：cos??(?1?0)
332m?113m0???? 圆环脱离地面时的?值为?1?arccos1??332m????113m0????也是方程的解，但是???1时圆环已脱离地面，因此而?2?arccos1??332m??????2不是圆环脱离地面时的值。
3cos2??2cos??
2－19 取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为vr，牵连速度为ve，由系统对z轴的动量矩守恒，有：
其中：ve?r?，则上式可表示成：
Lz??m0r2??mver?mvrcos?r?0
z (m0?m)r2??mvrcos?r
mvrcos??vcos?由此解得：?? ?r(m0?m)rrve
vr ?