第二章 简易构造
下面我们以两种常用的超一级构造的数列表达式an?can?1?n（n?2）和
an?can?1?dn?1（n?2）来讲解超一级构造思想。
模型2：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?can?1?n（n?2），求通项公式an。
思想构造：不妨设 an?An?B?c?an?1?A?n?1??B? 即 an?can?1??cA?A?n?cB?B?cA 又? an?can?1?n
?cA?A?1 ? ?
?cB?B?cA?01?A???c?1 ? ?c?B???c?1?2?
? an??ncn?1c??? ??ca??n?122??c?1?c?1?c?1?c?1???（验证：an??ncn?1c????an?can?1?n） ??ca??n?122??c?1?c?1?c?1?c?1????nc?a???n?1cc?1?c?1?2?是以a1?? ? 数列?为首项，c为公比的等比2c?1?c?1?数列。
?nc1c?n?1??c ???a1??? an?22?c?1?c?1??c?1?c?1??a1??1c?n?1nc从而得出：an?????a??c??2??1c?1?c?1?2?c?1??c?1???,n?1,n?2
※ 结论2：超一级构造数列表达式an?can?1?n（n?2）的通项公式为：
- 6 -
第二章 简易构造
?1c?n?1nc? an?? （n?2） a??c??2?1c?1?c?1?2?c?1?c?1???例2：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?2an?1?n（n?2），求通项公式an。
解2： 不妨设 an?An?B?2?an?1?A?n?1??B? 即 an?2an?1??2A?A?n?2B?B?2A 又? an?2an?1?n
?A?1
?
?B?2
?2A?A?1 ? ? ?
?2B?B?2A?0 ? an?n?2?2?an?1?n?1?2?
? 数列?an?n?2?是以4为首项，2为公比的等比数列。 ? an?n?2?4?2n?1 从而得出：an?2n?1?n?2
当n?1时，a1?22?1?2?1，满足an?2n?1?n?2 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1?n?2
模型3：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?can?1?dn?1（n?2），求通项公式an。
思想构造： 不妨设 an?xdn?can?1?xdn?1 即 an?can?1?xcdn?1?dn 又? an?can?1?dn?1 ? x?cdn?1?dn??dn?1 即 x?????1 c?d?dndn?1?? ? an? ?c?an?1???c?dc?d??
- 7 -
第二章 简易构造
?dndn?1?n?1??（验证： an? ） a?ca?d?c?a?nn?1n?1??c?dc?d???dn?d为首项，c为公比的等比数列。 ? 数列?an??是以a1?c?dc?d??dnd?n?1???a1??c ， ?n?2? ? an?c?d?c?d?a1??d?n?1dn 从而可得：an?????a1??c??c?dc?d???,n?1,n?2
※ 结论3：超一级构造数列表达式an?can?1?dn?1（n?2）的通项公式为：
d?n?1dn? an??a1? ?n?2? ?c?c?d?c?d?例3：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?4an?1?2n?1（n?2），求通项公式an。
解： 不妨设 an?x2n?4an?1?x2n?1 即 an?4an?1?x2n?1?2n 又? an?4an?1?2n?1
? x2n?1?2n?2n?1 即： x? ? an?2n?1?4an?1?2n?2
??????1 2??? 数列?an?2n?1?是以2为首项，4为公比的等比数列。 ? an?2n?1?2?4n?1 从而可得：an?22n?1?2n?1
当n?1时，a1?2?1?1，满足an?22n?1?2n?1 所以数列?an?的通项公式为an?22n?1?2n?1
通过观察我们不难发现：我们将超一级构造数列表达式an?can?1?dn?1
- 8 -
第二章 简易构造
（n?2）两边同时除以dn，就可以将其转化为一级构造数列表达式
（an?can?1?dn?1ancan?11ac1bn?n?A??B?????dddd??bn?Abn?1?B）????dnddn?1d?????，在引
n用重要结论就会很快得出答案，我们把这一类型称为二级构造（见下一节）。需要注意的是，不是所有的超一级构造都能转变成一级构造，比如说：超一级构造数列表达式an?can?1?n（n?2）就不能转变成一级构造。
2.2 二级构造
二级构造是在一级构造的基础上进行讨论的，也就是通过一定的方法取构，能转变成一级构造数列表达式的方法，我们称为二级构造。二级构造在思维上增加了难度，但在对一级构造的理解的基础上来学习二级构造，也是比较容易理解掌握的。由于题型具有多变性，我仅以几种常见的题型来分析构造法在数列中的应用。
2.2.1 二级构造的数列表达式1（除法构造）
一般的，形如an?pan?1?f?n?（n?2，f?n?是指数函数且p?0）的式子，我们称为二级构造数列表达式。特殊地，当p=1时，an?pan?1?f?n?（n?2）等差。
模型4：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?pan?1?qn?1（n?2），求通项公式an。
思想构造：将an?pan?1?qn?1两边同时除以qn，可得：
anpan?11??n?1? nqqqqanp1，则（满足一级构造数列表达式） b?b?nn?1nqqq,n?1,n?2 设bn?b1?n?1? 由结论1得：bn???1??p?1????b????1p?q??q?p?q?????
- 9 -
第二章 简易构造
a1,n?1??q?n?1qn 从而得出：an???
??a?p?,n?21??p?q?p?q???例4：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?3an?1?2n?1（n?2），求通项公式an。
解：将an?3an?1?2n?1两边同时除以2n，可得：
an3an?11??n?1? n2222a31 设bn?n，则（满足一级构造数列表达式） b?b?nn?12n22
?3? 由结论1得：an????1（n?2）
?2? 从而得出：an?3n?2n （n?2） 当n?1时，a1?3?2?1，满足an?3n?2n 所以数列?an?的通项公式为an?3n?2n 2.2.2 二级构造的数列表达式2 (取倒构造)
一般的，形如an?dan?1（n?2，c,d为常数且d?0）的式子，我们称为
an?1?cn二级构造数列表达式。
模型5：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?通项公式an。
思想构造：将an?dan?1两边取其倒数，可得：
an?1?cdan?1（n?2），求
an?1?c
1c11??? andan?1d 设bn?1c1，则bn?bn?1?（满足一级构造数列表达式） andd
- 10 -