第二章 简易构造
,n?1,n?2
b1??n?1 由结论1得：bn???1??c?1b????????1c?d??d?c?d?a1??1? 从而得出：an??n?1?1??c?11?????????c?d???a1c?d??d?例5：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?通项公式an。
解：将an?2an?1两边取其倒数，可得：
an?1?31311??? an2an?12,n?1,n?2
2an?1（n?2），求
an?1?3
设bn?131，则bn?bn?1?（满足一级构造数列表达式） an22n?1?3? 由结论1得：bn?2????2??1 ?n?2?
2n?2 从而得出：an?n?1n?2 ?n?2?
3?22-12n?2?1，满足an?n?1 当n?1时，a1? 1-2-13?2n?22n?2 所以数列?an?的通项公式为an?n?1n?2
3?22.2.3 二级构造的数列表达式3 (取对构造)
一般的，形如an?baan?1（n?2，a,b为常数，且b?0）的式子，我们称为二级构造数列表达式。
模型6：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?ban?1（n?2），求通项公式an。
- 11 -
第二章 简易构造
思想构造：将an?ban?1两边取其对数，可得：
1lgan?lgan?1?lgb 21 设bn?lgan，则bn?bn?1?lgb（满足一级构造数列表达式）
2?? 由结论1得：bn??bb?2lg1????b1n?1?1?b???2lg?2?,n?1,n?2
,n?1,n?2
a1?n?1??1??? 从而得出：an???a??2?21?b??2???b?例6：在数列?an?中，已知a1?1，且数列?an?满足an?2an?1（n?2），求通项公式an。
解：将an?2an?1两边取其对数，可得：
1lgan?lgan?1?lg2 21 设bn?lgan，则bn?bn?1?lg2（满足一级构造数列表达式）
2?1? 由结论1得：bn??2lg???2?2n?1?2lg2 ?n?2?
?1? 从而得出：an?4????4??1? 当n?1时，a1?4????4??1????2?0?1????2?n?1 ?n?2?
?1????2?n?1?1??1，满足an?4????4??1????2?n?1
?1? 所以数列?an?的通项公式为an?4????4?
2.3 三级构造
三级构造是一级构造和二级构造的叠加，思维更加缜密，难度要求更大，它结合了地推、替代 、取对等构造方法，逐步转换为最简单的一级构造。这使得构造法在数列中体现得更加完美。以下是两种典型的三级构造模型。 2.3.1 三级构造的数列表达式1
- 12 -
第二章 简易构造
一般地，形如an?a?数列表达式。
b（n?2，a,b为常数）的式子，我们称为三级构造an?1模型7：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?a?通项公式an。
分析： 构造假设： an?c?a?c?an?1?c? an?1c?a?c?an?1
b（n?2），求an?1 则：
an?c?a?c?b an?1 又由题意： an?a? 相比较得：b?c?a?c?
a?a2?4b 从而解得：c?
2 于是有： 设bn?an?11c11（取倒） ????an?c?a?c??an?1?c?a?can?1?ca?c1，则bn?cbn?1?1（满足一级构造数列表达式） an?ca?ca?cb1??n?1 由结论1得：bn???1??c?1b?????1??2c-aa?c2c?a?????,n?1,n?2
a1,n?1??1??c,n?2 从而得出：an??n?11??c?1???b1??????2c-a??a?c?2c?a??例7：在数列?an?中，已知a1?2，且数列?an?满足an?2?通项公式an。
1（n?2），求an?1
- 13 -
第二章 简易构造
2?c?an?1?c? an?1c?2?c? an?1解： 构造假设： an?c? 则： an?c?2?c?1 an?1 又由题意： an?2? 相比较得：1?c?2?c? 从而解得：c?1 于是有： 设bn?an?111???1 ?an?1?1?an?1?1an?11，则bn?bn?1?1 an?11?1为首项，1为公差的等差数列，即：bn?n 2?1n?1 从而得出：an? （n?2）
n1?1n?1当n?1时，a1? ?2，满足an?1nn?1所以数列?an?的通项公式为an?
n2.3.2 三级构造数列表达式2
所以数列?bn?是以b1?2an?1一般地，形如an?（n?2，a,b为常数，且a?0）的式子，我们
a?an?1?b?称为三级构造数列表达式。
2an?1模型8：在数列?an?中，已知a1，且数列?an?满足an?（n?2），
a?an?1?b?求通项公式an。
2an?acan?1?abc分析： 构造假设：an?c??1
a?an?1?b? 进一步假设：ac?2c，abc?c2 即 a?2，c?ab
- 14 -
第二章 简易构造
可得：
2?an?1?c?an?c?......................................? a?an?1?b?2an?1an? 由题意： a?an?1?b? .........................................?
?an?1?an??? ?/?得： ? an?c?a?c?n?1? 两边取对数：lganan?c2?2lgan?1an?1?c （取对）
a1an??an?c?? 所以数列?lg?是以lga1?c为首项，2为公比的等比数列。
???? 于是有： lganan?2b?lg?a1???a?2b???1??2n?1 ?n?2?
a1,n?1?n?12???a1?2b???a?2b?? 于是得出：an???1 ?,n?2n?12?a1????????1?a?2b???1an?1例8：在数列?an?中，已知a1?3，且数列?an?满足an?（n?2），
2?an?1?1?求通项公式an。
2an?2can?1?2c解： 构造假设：an?c??1
2?an?1?1?2?an?1?2?......................................? an?2???2an?1?122 假设c=2,可得：
an?1 由题意： an? ...............................................?
2?an?1?1??an?1?an? ?/?得： ????an?2?an?1?2? 两边取对数：lganan?22?2lgan?1an?1?2
- 15 -