?m??m??M?m???2?????1????1?? ??????P(A)?P(B)??M???2?????m???2???? P(B|?M???2????A)?P(AB)P(B)m?1 ??P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则
?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m????1????????1? P(D|C)?M???2?????P(CD)P(D)2m ??P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
(1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。 解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?11 ?n?(k?1)n?k?1n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为
?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证明：一个母鸡
(?p)r??pe。 恰有r个下一代（即小鸡）的概率为
r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则
P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?rk?r???ke???k?rk?r????p(1?p) ??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)(?p)r??p?e?e?e ?e?r!r!r!(k?r)!k?r 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、
三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则
P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645
k?14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产” A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”
A3表示“任取一只产品是丙台机器生产” B表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式：
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P(A|B)?1P(A1)P(B|A1)?P(Ak)P(B|Ak)k?13?P(A2)P(B|A2)28 25
P(A2|B)?3?P(A3|B)?6969?P(Ak)P(B|Ak)k?1P(A3)P(B|A3)?P(Ak?13?k)P(B|Ak)16 691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 解 则 P(A1)?932112， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)? P(B|A1)?，P(B|A2)?， 151515157731，P(B|A4)? 由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9
147722P(B|A3)??P(Ak?1k)P(B|Ak)1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是率是多少？
解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，。 则 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?1 B表示“朋友迟到了”
142111、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概4312?P(Ak?1k)P(B|Ak)1.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) =P(A?B)P(C) （2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)
（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)
1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。 解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 则 6411511P(A)?P(B)?P(C)???， P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)
64644641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)
64P({?2})? P({?3})?P({?4})?1.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生；(2) n个事件中至少发生一件；(3) n个事件中恰好发生一件。 解 (1) P(n?Ak?1nk)??P(Ak)??(1?pk)(2) P(?Ak)?1?P(?Ak)?1??(1?pk)
k?1k?1k?1k?1k?1nnnnn(3) P[?(A?Akk?1j?1j?knj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].
k?1j?1j?kk?1j?1j?knnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。
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解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以
min(P(A),P(B))?0.
1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事
件的概率 。(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型；(2)三个人为O型，两个人为
A型；(3)没有一人为AB。
解 (1)从5个人任选2人为O型，共有????种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：
?5??2??5??5?2225?????3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168?0.46?0.40?0.1557 (2) (3) (1?0.03)?0.8587 ?2??3?????1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，
k?1,2,?。 (1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.42?0.84
(2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026
lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。 解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第
?n?m?1?n?1?n?m?1?nmm???p(1?p)?p?p(1?p) n?m次试验成功” 则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)???m??m?????1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完
一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。
解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次是从甲盒中取的，即在前2n?r?1?2n?r?1??1?在甲盒中取了n?1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)???n?1???2?????n?1?1?????2?n?r?1 22n?r?1?2n?r?1??1?由对称性知P(ArB0C)?P(A0BrD)，所求概率为：P(A0BrC?ArB0D)?2P(A0BrC)???n?1???2?????
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第二章 离散型随机变量
2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)??2?n??35?23?12?n???1?0?1?1222n? ?? (4)????(2) (3) 1?1?11?1?1?1?1?1??1?????????0.50.30.2??0.70.10.1??22?3?2?3??2?3????2?2???2?????????????????解 （1）是 （2）0.7?0.1?0.1?1，所以它不是随机变量的分布列。
1?1?1?1?1?3（3）1?1??????????????,所以它不是随机变量的分布列。
22?3?2?3?2?3?4?11???（4）???0,n为自然数，且?????1，所以它是随机变量的分布列。 ?2?n?1?2?2nnn2.2 设随机变量?的分布列为：P(??k)?(2)P(k,k?1,2,3,4,5，求(1)P(??1或??2); 1515???)) ； (3) P(1???2)。 22121151解 (1) P(??1或??2)???; (2) P(???)?P(??1)?P(??2)?;
151552251(3) P(1???2)?P(??1)?P(??2)?.
52?2.3 解 设随机变量?的分布列为P(??i)?C????,i?1,2,3。求C的值。 ?3?2327解 C?2??2???2???1，所以C?。
??????38?3???3?3?i??2.4 随机变量?只取正整数N，且P(??N)与N成反比，求?的分布列。
2C?解 根据题意知P(??N)?C，其中常数C待定。由于，所以C?6，即?的分布列为?C??126?2N2N?1N??2P(??N)?6，N取正整数。
?2N22.5 一个口袋中装有m个白球、n?m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了?个白球，求?的分布列。
解 设“??k”表示前k次取出白球，第k?1次取出黑球，则?的分布列为：
P(??k)?m(m?1)?(m?k?1)(n?m),k?0,1,?,m.
n(n?1)?(n?k)2.6 设某批电子管的合格品率为
31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第?次为首次测到合格44k?11?品，求?的分布列。 解 P(??k)?????4?3,k?1,2,?. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以?表示取出球的取大号码，
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?k?1???2????求?的分布列。 解 P(??k)?,k?3,4,5. ?5???3????2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0?p?1)，设?为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求?的分布列。 解P(??k)?qk?1p?pk?1q,k?2,3,?，其中q?1?p。
2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解 设?，?表示第二名队员的投篮次数，则
P(??k)?0.6k?10.4k?10.4+0.6k0.4k?10.6?0.76?0.24k?1,k?1,2,?； P(??k)?0.6k0.4k?10.6?0.6k0.4k0.4?0.76?0.6k0.4k?1,k?1,2,?。
2.10 设随机变量?服从普哇松分布，且P(??1)?P(??2)，求P(??4)。
解P(??k)??kk!e(??0)k?0,1,2,?。由于?e??????22e??,得?1?2,?2?0（不合要求）。所以
24?22?2P(??4)?e?e。
4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，
才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解 设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(??x)?0.999。查普哇松分布的数值表，得x?16。
2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
(?t)k??t解 设?为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 P(??k)?e(??0),k?0,1,2,?
k!t?1时，P(??0)?e???0.2，所以??ln5；t?2时，?t?2ln5，因而 P(??1)?1?P(??0)?P(??1)?(24?ln25)/25?0.83。
2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p?1，因而，至少出现三个错误的概率为 500k500?k?500??1??499? ???k???500??500????k?3???500k500?k?500??1??499??1????k???500??500????k?0???2
2151?0.080301 利用普哇松定理求近似值，取??np?500??1，于是上式右端等于 1??e?1?1?2e500k?0k! 10