（2）柯西分布，其密度函数为p(x)?1,(a?0)
?(x?b)2?a2?a?????x??1?e??x（3）T?分布，其密度函数为 p(x)??T(?)??0解：（1）?(t)?ax?0x?0 (??0,??0)
?a?aeitx?a1sinat ?dx?2aat1aitb?eitu2aitb?costudx??e??2du??e?2du （2）?(t)??e???a??u?a20u?a2?(x?b)2?a2??itx由拉普拉斯积分
?itx??0cos?x????ibt?at?(t)?e得 dx?e,(?,??0),222???x???1??1??it??(it??)x??1??it???(t)?e??/?(?)?x?edx??/?(?)?e?xdx??/?(?)??(?)/(??it)?(1?)（3）?(1?) ?0?0??3.93 若?(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）?(?t);(2)?(t);(3)??(t)?（n为正整数）
22证：（1）若?(t)是随机变量?的特征函数，则?(?t)是随机变量????的特征函数； （2）若?与?独立同分布，其特征函数为?(t)。则?(t)2??(t)??(?t)是随机变量?????的特征函数；
n（3）若?1,?,?n独立分布，其特征函数为?(t)。则??(t)?是随机变量??3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：
?ni?1?i的特征函数。
11?sint?2（1）cost；（2）cost；（3）；（4）?（5）?it。 ?；
t1?it2e?1??证：（1）cost?21it1?it?e??e，所以cost是两点分布 22? P 的特征函数。 （2）cost?2-1 1 12 12 112it1?2it??e??e，所以cos2t是三点分布 244? P 的特征函数。
?2 14 0 12 2 14 （3）密度函数为p(x)?e,x?0;p(x)?0,x?0的指数分布的特征函数为
?x11，所以是密度函数为1?it1?itp(x)?ex,x?0;p(x)?0,x?0的分布的特征函数。
31
（4）[?1,1]上均匀分布的特征函数为
sint，所以互相独立且同为[?1,1]上均匀分布的两个随机变量和的特征函数为t?(2?x)?2?x?04?sint2sint2?()，即()是密度函数为 p(x)??(2?x)0?x?2 的分布的特征函数。
4tt?0其它??12e?it?1??（5）
111ikt，所以是几何分布eP(??k)?,k?1,2,3,?的特征函数。 k?itk2e?12k?12?3.95 试举一个满足（1）?(?t)??(t)，（2）|?(t)|??(0)?1，但是?(t)不是特征函数的例子。 解：令 ?(t)???1t?0 则?(t)满足（1），（2），但?(t)在t?0点不连续，故?(t)不是特征函数。
?0t?0?|t|?1?|t|?a3.96 证明函数 ?(t)??(a?0) 是特征函数，并求出它的分布函数。 a?|t|?a?0解：由于
?????(t)dt????1??aa??t??dt?a?? 故欲证?(t)是特征函数，仅须验证 a??1p(x)?2?????e?itx1??(t)dt?2??a?ae?itx?t?1???1??dt?a????2t?11?cosax?1?costxdt??是密度函数由于??2?0?a??axaa?2ax?ax?2?sin2ydy?1，所以?(t)为特征函数，其分布函数为 p(x)?0， ?p(x)dx??sin??dx??0??x02?2??y2?11?cosat?dt。 2???atsinth3.97 设?(t)是一个特征函数。h?0，证明： ?h(t)?p(t)? 也是特征函数。
thsinthsinth证：设?与?相互独立，?的特征函数为?(t)，?服从??h,h?上的均匀分布，?的特征函数为，则是???的特征函数。
ththF(x)??x1n3.98 设?1,?2,?,?n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明??i与?1有相同的分布。
ni?1??t??11nibt?atibt?at??e.所?(t)?e.??证：柯西分布p(x)??的特征函数故的特征函数为???i??22n?(x?b)?ani?1????an1n以???i与同分布。 ni?13.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求
??i?1ni的分布。
32
n?it?????1??x1??解：T?分布p(x)?xe，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数?(t)????。故??i的特征函?T(?)i?1????数为 ??(t)?nn?it???1????????n?，
?n?所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)??xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，x?0。
T(n?)i?1?1?1?xy(x2?y2)3.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为 p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它
证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与?并不相互独立。
?(2?x)4?2?x?02??sint?0?x?2 ???的特征函数为?证：p???(z)??p(x,z?x)dx ??(2?x)4?。
??t???0其它。??p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。
故
?与?的特征函数皆为
sint，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由p(x,y)?p?(x)?p?(y)，故?与?不互相独立。 t?t3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e特征函数的乘积，但?与?不独立。 证：由?的特征函数??(t)?e?t，又令??a?(a?0)，证明???的特征函数等于?、?的
推得，??a?与???的特征函数分别为??(t)?e?at与????(t)?e?(a?1)t，故
????(t)???(t)???(t)。
倘
若
?与
?相互独立，令
?的分布函
2数为
F(x)，则
F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，
故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）：（1）sint；（2）111?tln(e?t)；（3）；（4）；（5）。
221?it1?t2?1?t?解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时， （3）不是，因为ln(e?t)?1不成立（4）不是，因为?(t)?1?t?1。 21?t1??(?t)。 1?it （5）是的，拉普拉斯分布p(x)?
11?x1，所以也是特征函数。 ?e的特征函数为
2221?t2?1?t?33
第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 设D(x)为退化分布：D(x)???1x?0 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？
0x?0?11（1）（2）不是；（3）是。 (1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,? 解：
nnx??n?0?x?n4.2 设分布函数Fn(x)如下定义： Fn(x)?? ?n?x?n 问F(x)?limFn(x)是分布函数吗？解：不是。
n???2nx?n?14.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于
F(x)。 证：对任意的??0，取M充分大，使有 1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M
对上述取定的M，因为F(x)在[?M,M]上一致连续，故可取它的k分点：x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，则有 F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1 （1） 这时存在N，使得当n?N时有 |Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1 （2）
成立，对任意的x?(??,?)，必存在某个i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，由（2）知当n?N时有
Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?? （3） Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?? （4）
由（1），（3），（4）可得 Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?，
Fn(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?， 即有Fn(x)?F(x)?2?成立，结论得证。
4.5 设随机变量序列??n?同时依概率收敛于随机变量?与?，证明这时必有P(???)?1。 证：对任意的??0有?????????n?????????????，故 2?????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0
2?2??????1????1?即对任意的??0有P????????0成立，于是有 P??????P???????????P???????0
k??k?1?k??k?1?从而P(???)?1成立，结论得证。
?n?分别依概率收敛于随机变量?与?，证明： 4.6 设随机变量序列??n?，??????；?????。 （1）?n??n?（2）?n??n?PP 34
证：（1）因为?????n??n????????n???????????????????n???故 2??2????????P?????成立。 0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n?? 即?n??n?22???????。（2）先证明这时必有?n?对任给的??0,??0取M足够大?2P2M?1?????使有P????1?，???成
2???M?立，对取定的M，存在N，当n?N时有P?n???1?P??n??????????成立这时有 M???P??n???M??P??n???2??M?
?P???n???2??M????n???1?? ?P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)}
?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?
P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}从而有
?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)} ?P(|?n??|??M)?P(|?n??|?M)?3?2nP由?,?的任意性知???，同理可证???2，由前述（1）有
P?????，结论成立。 2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2?? 故?n??n?2nP222n2nP??a，a?0是一个常数，且?n?0，证明4.7 设随机变量序列?n?P1?nP???1。 a22证：不妨设a?0对任意的0???a，当?n?a??时有?na?a?a(?n?a)?a?a?，
??n?a???n?a?????2?????因而?。于是有 0???a??a?a???n???11?? P????????na????????n?a?n?a?????????? ?P??????????a???P?????a?????? nn????a?a????????n???n?n ?P??a2?a??????P?n?a???0,n??。 结论成立。
?????a????n???0,n?? 4.9 证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为： E1??n??证：充分性，令f(x)?
1x'?0,x?0，故f(x)是x(x?0)的单调上升函数，因，x?0，则f(x)?1?x(1?x)235