解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)
P(?1??2????n)1?n?1?rn?1?r?q??pqq ?n?r P(?i?1|???2????n?r)?1?n?r?r。 ?1???nnn?n?rn?r??r??pq??2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：
?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?证明 P(?1?k|?1??2?n)?k??1??1???????12??n?k
P(?1?k,?1??2?n)P(?1?k)P(?2?n?k)?
P(?1??2?n)P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以
?k1 P(?1?k|???2?n)?k!1(n?k)!(?1??2)n?(?1??2)en!e??1??n2?ke??2?1??n???????k??????????12?k??1??1???????12??n?k
2.51 设
?1，?2，?，
?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有
P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条件下，
(?1,?2,?,?r)的分布是均匀分布，即
P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n.
?n?1???r?1????证明 P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)?P(?1?n1,?,?r?nr)
P(?1????r?n)P(?1????r?n)由于?1，?2，?，?r相互独立且服从同一几何分布，所以
P(?1??2????r?n)?ki?1,2,?i?1,?,r?n?1?rn?rki?1?(q?p)????r?1??qp。
k1???kr?ni?1??rqrpn?r1?从而P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?n)?。
?n?1?rn?r?n?1????r?1??qp?r?1??????1
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第三章 连续型随机变量
3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a)
解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)；（2）P(??a)?F(a?0)；（3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。
1是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）???x??? 21?x（2）0?x??，在其它场合适当定义；（3）-??x?0，在其它场合适当定义。
3.2 函数F(x)?解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；
?F(x)???x?0~ （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义F(x)??x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。
3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为（1）[0,
~?3（2）[0,?]；（3）[0,?]。 ]；22解：（1）当x?[0,x?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；
0 （2）因为
?sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；
0 （3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。
3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）
321F(?a)?1?F(a)??2 证：（1）F(?a)??a0（2）P（??a)?2F(a)?1；（3）P(??a)?2?1?F(a)?。 p(x)dx；
???a??p(x)dx?1??0?ap(x)dx=1?a???ap(?x)dx?1??p(x)dx
??a1a?p(x)dx； ???02?0aa1a （2）P(??a??p(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知 1-F(a)???p(x)dx
?a020 =1?F(a)?1?p(x)dx??p(x)dx? 故上式右端=2F(a)?1； （3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。
3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明F(x)?aF1(x)?bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与
F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，于是
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F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)又limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0
x???x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1 F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)
x??x??所以，F(x)也是分布函数。
取a?b??0x?01，又令 F1(x)??2?1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1
?1x?1??0?1?x这时 F(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
?1?(1?x)e?x3.6 设随机变数?的分布函数为 F(x)???0x?0x?0 求相应的密度函数，并求P(??1)。
?xe?xd?x?x解：[1?(1?x)e]?xe，所以相应的密度函数为 p(x)??dx?0?0?23.7 设随机变数?的分布函数为 F(x)??Ax?1?x?0x?0x?0 P(??1)?F(1)?1?2。 e0?x?1 求常数A及密度函数。 x?1解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为 p(x)???2x0?x?1
0其它?3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0 limF(x)?A?Bx????2?1 所以 A?11,B? 2?因而 F(x)?111?arctgx,p(x)?F?(x)?。 2??(1?x2)0?x?11?x?2 其它?x?3.9 已知随机变数?的分布函数为 p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；（2）求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。
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x?0?01P(??0.5)?F(0.5)??x128ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245
1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?2P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.6612?0?x?2?13.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x；
??Acosx??x?（2）p(x)??22 （3）
?其它?0解：（1）
???Ax2?p(x)??Ax?0?1； 21?x?22?x?3 其它????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A?0???20 （2）
??Acosxdx?2A?2?22812962cosxdx?2A?1，所以A=;(3)?Axdx??Axdx?A?1,所以A?。
1226293.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。
430??x?xx解：当0?x?R时 F(x)P(??x)?3?()3 所以 F(x)??()343R?R?R?13x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为
?12x(1?x)20?x?1p(x)??
0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？
解： P(??0.8)??10.812x(1?x)2dx?0.0272 P(??0.9)??12x(1?x)2dx?0.0037
0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，
则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14
设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程 4x?4?x???2?0有实根的概率。
22 解：当且仅当 (4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。 因此，该方程有实根的概率 p?P(??2)?P(???1)?P(??2)?22?5213dx?。 553.17 某种电池的寿命?服从正态N(a,?)分布，其中a?300（小时），??35（小时）
(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。 解：（1）P(??250)?P(?1.43)??(1.43)?0.9236；
35x??300xxxx （2）P(a?x???a?x)?P(? =?()??(?)?2?()?1?0.9 ??35353535353535
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??300??1.43) =P(??300即?(xx)?0.95 所以 ?1.65 即 x?57.75 353512?e?x223.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有
y22y221.?1??(x)?x12??y22e?x2211(?3) xx 证： 1??(x)?1?x2212??x??e?dy??12?y2??xe?dy =
12?ex2?x2211.?x2???x1ey21dy
x22111e(?3)? =
xx2?2?3.21 证明：二元函数 F(x,y)??1?x3?21?21edye.?1??(x)? 所以 4xy2?2?e?11(?3)。 xx?1x?y?0对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，
?0x?y?0F(??,??)?0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。
证：（1）设?x?0， 若x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1，
若x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；
当x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。
可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。
（2）x?y?0时 limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，
?x?0?y?0 x?y?0时， limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1=F(x,y)，所以F(x,y)对x、y左连续。
?x?0?y?0 （3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。
（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。
?1?sin(x?y)3.23 设二维随机变数(?,?)的密度p(x,y)??2??0解：当0?x?0?x?其它xy?2,0?y??的分布函数。 （?,?）2求
?0?0221x1=?[cot?cos(t?y)]dt=[sinx?siny?sin(x?y)],所以 202，0?y?时，F(x,y)?P(??x,??y) =
??1sin(t?s)dsdt 2 20