mg?m122v2R12
mv2?mg?2R?
2
mv3?2解得 v3?5gh?4m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin?4m/s 设电动机工作时间至少为t，根据功能原理 Pt?fL?由此可得 t=2.53s
18.（09·江苏·14）1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q ，在加速器中被加速，加速电压为U。加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
12mv2min
（1）求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比； （2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能E㎞。 解析：
(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为r1,速度为v1 qu=
12mv1
v12
2qv1B=m
r1
解得 r1?1B2mUq 同理，粒子第2次经过狭缝后的半径 r2?则 r2:r1?2:1
1B4mUq
（2）设粒子到出口处被加速了n圈
2nqU?qvB?mT?2?mqB12vRmv22
t?nT解得 t??BR2U2
qB2?m（3）加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f?
当磁场感应强度为Bm时，加速电场的频率应为fBm?粒子的动能
EK?12mv2qBm2?m
当fBm≤fm时，粒子的最大动能由Bm决定
vmR22qvmBm?m
解得Ekm?qBmR2m22
当fBm≥fm时，粒子的最大动能由fm决定
vm?2?fmR
解得 Ekm?2?2mfm2R2
19.（09·四川·23）图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m=5×10 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度a=0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm=1.02 m/s的匀速运动。取g=10 m/s2,不计额外功。求：
(1) 起重机允许输出的最大功率。
(2) 重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率。 解析：
(1)设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0等于重力。 P0＝F0vm ① P0＝mg ② 代入数据，有：P0＝5.1×104W ③
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F，速度为v1，匀
3
加速运动经历时间为t1,有：
P0＝F0v1 ④ F－mg＝ma ⑤ V1＝at1 ⑥ 由③④⑤⑥，代入数据，得：t1＝5 s ⑦
T＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P，则 v2＝at ⑧ P＝Fv2 ⑨ 由⑤⑧⑨，代入数据，得:P＝2.04×10W。
20.（09·上海物理·20）质量为5?103 kg的汽车在t＝0时刻速度v0＝10m/s，随后以P＝6?104 W的额定功率沿平直公路继续前进，经72s达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5?103N。求：（1）汽车的最大速度vm；（2）汽车在72s内经过的路程s。
P6?104解析：（1）当达到最大速度时，P＝=Fv=fvm，vm＝ ＝ m/s＝24m/s
f2.5?103（2）从开始到72s时刻依据动能定理得：
2Pt－mvm＋mv011
Pt－fs＝ mvm2－ mv02，解得：s＝ ＝1252m。
222f
21.（09·上海物理·23）（12分）如图，质量均为m的两个小球A、B固定在弯成120?角的绝缘轻杆两端，OA和OB的长度均为l，可绕过O点且与纸面垂直的水平轴无摩擦转动，空气阻力不计。设A球带正电，B球带负电，电量均为q，处在竖直向下的匀强电场中。开始时，杆OB与竖直方向的夹角?0＝60?，由静止释放，摆动到?＝90?的位置时，系统处于平衡状态，求： （1）匀强电场的场强大小E；
（2）系统由初位置运动到平衡位置，重力做的功Wg和静电力做的功We； （3）B球在摆动到平衡位置时速度的大小v。
解析：（1）力矩平衡时：（mg－qE）lsin90?＝（mg＋qE）lsin（120?－90?）， 1mg即mg－qE＝ （mg＋qE），得：E＝ ；
23q
（2）重力做功：Wg＝mgl（cos30?－cos60?）－mglcos60?＝（静电力做功：We＝qEl（cos30?－cos60?）＋qElcos60?＝（3）小球动能改变量?Ek=
122
2
4
3
－1）mgl， 2
3
mgl， 6
mv＝Wg＋We＝（
2
23
－1）mgl， 3
得小球的速度：v＝
?Ekm
＝（
23
－1）gl。 3
22.（09·四川·25） 如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁
场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s。那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。 解析：
（1）设弹簧的弹力做功为W，有：
mgR?W?12mv?22
-1
-2
12mv0 ①
2代入数据，得：W＝?2.05J ②
（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v1和V，并令水平向右为正方向，有: mv??mv1?MV ③ 而： v1?Bqrm ④
若P、N碰后速度同向时，计算可得V 有： V?mv?BqrM ⑤ P、N速度相同时，N经过的时间为tN，P经过的时间为tP。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为?，有： cos??VV1?Vv1 ⑥ gtN?V1sin??v1sin? ⑦ 代入数据，得： tN?34s ⑧ 对小球P，其圆周运动的周期为T，有： T?2?mBq ⑨ 经计算得： tN＜T， P经过tP时，对应的圆心角为?，有： tP??2?T ⑩ 当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有： ?1???? 联立相关方程得： tP1?2?15s 比较得， tN?tP1，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。 当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有： a2????， 同上得： tP2??15，