数形结合思想在解题中的应用
摘 要
数形结合思想简而言之就是把数学中的“数”与数学中的“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想.数形结合具体地说就是将抽象语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.
数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法,是数学学习普遍适用的方法,把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.本文在概述数形结合思想的基础上,分析了数形结合思想在中学数学解题中的应用,主要体现在数轴问题、不等式问题、最值问题、方程根的存在性问题、求极值问题和线性规划问题等,并针对解决不同类型的题目给出详细的例题分析,然后给出了在培养学生在利用数形结合时需要注意的几个问题,最后,通过调查研究数形结合的教学现状得出结论和教学启示,以提高学生运用数形结合思想解题的能力.
关键词：以形助数;以数解形;数形结合;应用
The combination of number and shape in the problem solving
application
Abstract
第1章 绪论
1.1 数形结合思想概述
数形结合是中学数学解题中常用的思想方法,中学数学的基本知识可分为三类:一类是关于数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数、数学结构、数学性质、数学定理等;一类是关于形的知识,如实物、图像、图形等;一类是关于数形结合的知识,主要体现的是解析几何.使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解.
所谓数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面,其应用大致可以分两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些性质,即以数作为手段,形作为目的,比如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
1.2 数形结合的意义
(1) 应用数形结合思想,可以激发学生的学习兴趣
爱因斯坦说过:\兴趣是最好的老师.\许多学生对学习数学有感到单调、负担和惧怕的心理,应用数形结合,引导学生领略数学的美,将美感渗透融合于数学教学的过程,这种审美心理活动能启迪和推动学生数学思维活动,触发智慧的美感,使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣以克服数学学习的内在动力.
(2) 应用数形结合思想,可以提高学生解决问题的能力
应用数形结合的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率提高数学应用的意识和应用能力,遇到相关问题很自然想到应用数形结合思想方法解答,省时更省力,从而很好的提高和巩固已学知识,为学生将来学好数学,轻松的解决问题奠定良好的基础.
(3) 应用数形结合思想,可以帮助学生从多个角度思考问题
有些代数题型不仅能用代数方法解决,还可以用几何方法去解决;同样,有些几何问题也可以用代数方法去解决,但是,大部分学生在面对代数问题时首选代数方法,对几何问题首选方法.在教学过程中,培养学生数形结合的能力,可以帮
助学生从多个角度、多层次的思考问题、解决问题,可以养成多向性思维的好习惯.
例如:解不等式1x?x2时,大部分学生都用代数方法解决问题,若利用数形 结合思想,将此问题转化为两个函数图像上、下位置的关系来解决更简洁.如图1所示:
图1
(4) 应用数形结合思想,可以形象地帮助学生理解和记忆
例如:在研究某种函数的性质时,可以利用函数图形来记忆其有关的性质,如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等.
如图2、3是指数函数y?ax(a?0)的函数图像,由图可知:
当a?1时,函数的定义域为:???,???,值域为:?0,???,在定义域内单调递增.
当0?a?1时,函数的定义域为:???,???,值域为:?0,???,在定义域内单调递减.
图2 图3
第2章 数形结合的具体应用
应用“数形结合”的方法,将问题转化,不仅能简化计算过程,而且使解题的思路也变得非常明确清晰,让人一目了然.因此,将这种方法运用于中学数学的学习及教学,可大大提高其效率.
2.1 数形结合从数轴开始
运用数形 结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,利用数轴能形象的表示有理数、直观的解释相反数、比较有理数的大小、解决与绝对值相关的问题等.
例1 求不等式x?2?x?3?5的解集. 解析:由绝对值的几何意义知:
x?2?x?3的最小值为5时,x在?2与3之间包括两端点取值,
若x?2?x?3?5成立,则x必在?2的左边或3的右边取值,如图4所示:
x
图4
?不等式的解集为x??2或x?3.
2.2 数形结合思想在范围、最值问题中的应用
x?4y?3?0例5 变量 x,y 满足 3x?5y?25?0 x?1(1) 设 z?4x?3y,求z的最大值; (2) 设 z?y,求z的最小值; x2
(3) 设 z?x?y2,求z的取值范围.