x?4y?3?0解析:由约束条件 3x?5y?25?0,作出?x,y?的可行域如图5所示:
x?1
图 5 y 由图分析代数式4x?3y,,x2?y2的几何意义,完成符号语言与图形语言的转
x化是关键.
x?1?22?解:由 解得A?1,?, 3x?5y?25?0?5?x?1由 解得C?1,1?,
x?4y?3?0x?4y?3?0由 解得B?5,2?.
3x?5y?25?04zzx?的纵截距?的最小值 3334z4z 平移直线y?x知,当直线y?x?过点B时,?最小,z最大. 3333 ?zmax=4?5?3?2?14. yy?0 (2)?z??, xx?0 ?z的值为可行域中的点与原点的连线的斜率.
2 观察图形可知zmin=kOB=. 5 (1) 求z?4x?3y的最大值相当于求直线y? (3)z?x2?y2的几何意义是可行域上的点到原点的距离的平方.
结合图形可知,dmin?OC?2,dmaxOB?29. 2.3 数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用
(1) 用函数图像讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是将
方程两边的代数式当作是两个函数,然后在同一直角坐标系中观察两函数图像,图像交点即为方程的解.
(2) 解不等式问题也经常联系函数的图像,根据不等式的特点,选择适当的函数,
然后通过分析函数图像的上、下位置的关系,将此转化为 数量关系来解决不等式问题,这样可以避免繁琐的运算,提高做题效率.
例6 设方程x2?1?k?1,,试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的况.
k解析:直接用代数方法我们很难解决这个问题,我们可以把这个问题转化成讨
2?1两个函数y1?x和y2?k?1图像的交点的个数的情况,两函数的图像如图6所示:
从图中可已看出函数y2?k?1表示平行于x轴的所有直线.
图6
解:(1) 当k??1时,y1与y2没有交点,这时原方程无解;
(2) 当k?1时,y1与 y 2有两个交点,则原方程有两个不同的解;(3) 当k?0时,y1 与 y2有三个交点,则原方程有三个不同的解; (4) 当?1?k?0时,y1 与 y2有四个交点,则原方程有四个不同的解; (5) 当k?0时,y1 与 y 2有两个交点,原方程有两个不同的解.
例 7 求使不等式log2??x??x?1成立的x的取值范围.
解析:若直接用代数方法解不等式会很难,我们可以分析两个函数y1?log2??x?和y2?x?1函数图像,通过位置关系来解决问题.
解:令y1?log2??x?,,y2?x?1,则两函数图像如图7所示:
图 7
由图3可已看出:两函数图像的交点为?1,0?,
?当x?1时,y1?y2,,当x?1时,y1?y2,,
?使不等式log2??x??x?1成立的x的取值范围是?1,???.
2.4 数形结合思想在几何中的应用
此类题目要求将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,从而将问题解决.
例7 (1) 在平面支架坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在轴x上,离心率为2,过的直线l交C于A,B两点,且三角形ABF2的周长为16,求C的方程. 22
(2) 设抛物线y?8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA?l,A为垂
足,如果直线AF的斜率为?3,求PF. x2y2解析:(1) 设椭圆方程为 2?2?1?a?b?0?, ab因为AB过F1且A、B在椭圆上,如图4:则三角形ABF2的周长为:AB?AF2?BF2?AF1?AF2?BF1?BF2?4a?16 ?a?4
又离心率e?c2 ?a2?c?22, ?8?b2?a2?c2,
x2y2?1 ?椭圆方程为?168
yx
图8
(2) PA?l,?PA平行于x轴,如图9: 由题意可知?AFO?60?,??FAP?60?, 又由抛物线定义知PA?PF, AF为等边三角形. ??P 又在直角三角形AFF1中,FF1?4, ?FA?8,PF?8.
图9