（一）自主学习的课堂，因真实而有效。
有了真实才能谈到有效。两节课都是基于学生元认知，以充分尊重学生认知水平和能力为前提设计的教与学活动。首先两位教师依据不同的教学内容为学生选取了恰当的学习方式。《数学课程标准》中关于学生学习方式的叙述，有这样的一句话非常值得我们关注：重视直接经验，要处理好直接经验与间接经验的关系。今天的两节课突出特点就是在直接经验与间接经验的利用上形成了鲜明的对比。
首先，“植树问题”这节课，它虽然是一种特殊的数学模型，但是学生完全可以借助已有的知识经验尝试解决、并在观察、思考、试验、验证等有效的学习活动中发现、总结、归纳解决问题的策略和方法。新知的建构是完全建立在学生真实的知识经验基础之上，让学生在探究活动中拾阶而上的，以获取直接经验的方式完成本节课的学习任务。例如，教师从一开始就将“在 100 米 的小路一边植树，每隔 5 米 种一棵，一共要种多少棵”这样的问题抛给学生，让学生大胆尝试自主解决。此时，我们能感到：“除法的含义”以及“应用除法含义解决实际问题”已经在学生的头脑中成为解决这一新问题的有效支撑点。所以，我们看到课堂上：面对这样的题目，学生并没有感觉到陌生和无从下手，而是根据自己对这一问题的认识写出了相应的解决方案。学生有想法，就让学生把想法展示出来，将他们的想法和思维成果作为新知探究的起点，这不仅是真实的学习现实，而且还是借助直接经验解决问题的良好开端。而在后面进行的新知探究环节，教师始终引导学生在“看一看、想一想、画一画、说一说、议一议”等数学活动中，不断的提取头脑中的知识经验进行再加工，而在进一步的思维加工过程中，学生一步一步的提升了对问题的认识，一点一点的走进了正确的解决方案。整节课中我们看到：从“自己做”开始，将学生自主尝试的思维成果作为研究的起点，以“怎样做有道理”作为核心问题展开探究活动，在学生不断明理的进程中，正确的思考路径，准确的解答思路逐渐清晰。我想这就是在恰当的问题情境中学生“做数学”的过程。
与之对比，“因数和倍数”显然有明显的不同了。这节课关注了间接经验的开发和利用。在学习方式的选择上更多关注的是：怎样引导学生借助间接经验对本节课要学习的概念形成正确的认知。教学中，教师从看书自学入手，让学生借助间接经验完成对概念的理解、新知的建构，这样的设计一方面符合学生学习的实际需求，另一方面适应教学内容本身的逻辑结构特点。课堂上我们看到，无论是自学前教师出示的“自学小提示”，还是当学生在解决问题过程中遇到困难时，教师对学生适时地“再回到书中看一看”的引导，等等这些都是帮助学生学会看书，学会接受间接经验。在不断深入推进“学”的进程中，新的概念在学生头脑中也逐渐完整清晰起来。通过本节课的学习活动可使我们认识到：“间接经验”的开发和利用只要适时适当也是学生学会新知的重要手段。这节
课的真实性体现在教师充分尊重学生的认知能力和思维水平，引领学生不仅学会知识，而且使学生掌握学习方法，提高了学习能力。
在处理好直接经验和间接经验的关系上，两位教师给了我们一个很好的诠释。对应不同的教学内容选取真正切合学生实际的学习方式，不仅使学生学得充分自主，而且三维目标落实的准确到位，“四基、四能”自然的蕴含其中，实现了有效。
（二）自主学习的课堂，因开放和探究而实现了学生学习的主体性。 “开放”我们期待的是给学生更多的空间和时间，只有这样学生才能真正参与到学习活动中来，学生有机会思考，有时间尝试。当然，在这个过程中，可能学生的想法不是很到位，也可能尝试的结果会有一些偏差。但是，正是这些不到位的思考以及具有研讨价值的所谓的经验和成果，才成就宝贵的数学思考的历程，是形成正确认知的思维起点，同时更是新知的生长点。两节课在为学生营造开放探究的学习氛围方面也都是各具特色。开放探究的教学环境下，学生获得的不仅仅是知识与技能，更是过程性体验、经验的积累，这就是学习主体性的具体表现。
（ 1 ）在开放探究的过程中，我们看到了“双基”承载“四基”。 一节数学课上，双基即“基础知识与基本技能”，它们的落实是教学活动中的明线，而在双基得以落实的同时，另一条暗线也就是“基本数学活动经验的积累、基本数学思想的感悟”应该是蕴涵其中的。最可贵的就是两节课中这两条主线让我们清晰可见。我们可以看到学生在充分自主学习的过程中落实了基础的知识与技能，同时积累了“尝试、验证、观察、发现、总结规律”等数学活动经验，感悟了“一一对应、数形结合、符号、集合”等数学思想方法。可以说，两位教师借助双基的落实达成了关注四基的教学目标。
如“植树问题”一课，我们能够明显的感觉到无论是一开始的提出问题，学生独立解答还是后面对于解题策略的研究过程，整堂课上学生始终扮演着研究问题的主要角色。例如：当学生独立解决问题后，教师呈现了两个解决问题的方案，而在这两种不同的方案中都涉及到“ 100 ÷ 5= 20 ” 这样的一个解题步骤，教师就再一次将问题抛给学生“100 ÷ 5=20 这一步求的是什么？”当学生初步感悟到 100 里面有 20 个 5 米 也就是有 20 个间隔时，教师没有急于揭示规律，而是向学生提出了“间隔数是不是我们要求的棵数呢？间隔数与棵数之间有什么关系呢？”这样的两个关键性问题引领下，学生经历了“画一画、摆一摆”的自主研究。教师就是这样始终把学生放到探究问题的主体位置，给学生创造一次又一次的机会。在观察中，学生有了初步的感悟；在画一画中，学生进一步明理；在交流中，认识逐渐清晰。这样步步深入的数学活动，学生
积累了“尝试解决、画图验证、归纳总结”等一系列数学活动经验。同时一一对应思想也随着问题的解决变得生动形象起来。而后面规律的揭示就显得水到渠成了。可以说这节课教师为学生营造了一种“探究”的环境。在这个环境中有学生的动手实践，有学生的独立思考，有同伴间的交流，还有方法策略的形成和认识上的提升，这些充分体现了学生的学习是积极的、主动的获取，而非被动的接受，这就是主体性的体现。
而“因数和倍数”一课与之有所不同，这节课教师为学生营造了一种自主的“学”空间。为了三维目标的达成，为了四基的有效落实，在这节数学课上教师做了四件事：一是激发学生兴趣；二是关注数学思考；三是培养良好的学习习惯；四是形成正确的学习方法。
首先说激发学生兴趣。课始，教师创设的开启密码锁进入数学王国的情境，看似是一种体现童趣的形式，但本质上非常恰当好处的蕴涵了数学问题。我们知道，学生在学习本节课以前知识基础仅是与乘法相关的计算，但是对于本节课的概念“因数、倍数”却是完全陌生的。教师将“两个数的乘积是 60 ，满足这样条件的整数有多少组？”这个问题的解决作为新旧知识的联结点，一方面调动学生解决问题的积极性，另一方面很机智的将新概念又蕴涵其中。这样的导入环节可以说是不仅找准了学生的兴奋点，而且还巧妙地打开了新知学习的大门。后面一个小的环节：教师有意识的让学生自主选择学习新知的方式，学生们更是兴趣盎然地选择了自学。这样一个简简单单的交流，不仅增强了学生的自信，而且还潜移默化的将“学生是学习的主人”这一理念渗透给学生。从这样的两个小环节可以看出教师把激发学生的兴趣做得恰到好处。
其次说关注数学思考。数学思考简单的说就是数学地去思考。如，课中“找一个数的因数”这个环节，我们看到了学生在充分的体验中，思维方式不断的自主优化。可以说“找因数的方法”完善提升的过程也就是学生学会数学地去思考问题的历程。像找 1 、 2 、 4 的因数时，因为数比较小学生可以较快的说出因数，而这时学生的思维水平上存在一些差异，大多数学生没有想到要按照什么方法找，就是凭着感觉说出结果。此时教师巧妙的让有方法的同学将方法说给大家听，这种经验的交流必然促进了其他同学对自己想法的反思。这个反思的过程就是学生思维自主优化的第一步。所以，当再找 8 的因数时，应用乘法算式找因数已经成为班内同学普遍存在的方法了。紧接着，教师安排了学生独立完成：找 9 、 10 、 12 的因数，这一环节就是学生进一步梳理完善方法的过程。有了前面几个层次的学习活动作铺垫，方法的总结显得水到渠成，“准、序、全”几个字的提炼也就成了学生思维自然生长的结果了。 我们说培养学生良好的学习习惯和形成正确的学习方法。学习习惯的养成及正确的方法指导在这节课中有哪些突出的体现呢？例如教师精心设计的自学小提
示“边看边思考，重要的画一画，有问题作标记”，这是学习习惯方法的培养。再如判断题的编排，几道判断题的呈现，要落实的目标不仅仅是检查前面的自学成果，更重要的是在帮助学生梳理自学所得的同时发现问题，从而进入到修补自学漏洞，进一步完善对概念的认识这样一个层面上来。因为有了这样的环节目标，所以在学生完成判断题遇到问题时，教师鼓励学生通过再看书寻求答案。“判断题”是“查漏”，而“再看书”是补缺。这样的“反复”使得概念的难点被突破了，更重要的是学生学会了反思，学会了自学。这些才是这节课上学生积累的宝贵的学习经验。
（ 2 ）开放探究的过程中，抓住了知识的本质，获得的是更深一层的教育价值。
以“植树问题”为例，由于有了足够的时间和空间作保障，学生们经历了数学建模的完整过程，使得本课的教学带给学生更多的教育价值。教学活动中，教师从学生的已有知识经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学生在理解数学的同时，思维能力、情感态度与价值观也得到发展。我们看到：学生在具体的问题情境中初步感受到了“植树问题”这一数学模型的存在（ 100 里面有 20 个 5 ，而这 20 并不是要求的棵数。从这一点上学生初步感受了这个问题与以往用除法解决的问题是不一样的）；在探究解决问题策略的过程中逐渐清晰的认识了这一模型的本质“点与间隔之间的关系”；在归类梳理中完成了对这一模型的数学抽象（课中学生能够将几种不同的植树方案与之对应几个不同的图示建立联系，就是抽象的过程）；在拓展应用中以实际问题照应模型达到了对模型的再认识（如巧妙引入郭德纲相声“关于吃药”的一段，吃完这些药需要几小时这一问题的解决，将学生对点和间隔的认识拓展开来）。总结中，教师艺术的设计了“我们身边有植树问题吗？学习植树问题有什么用？”这样两个问题，帮助学生再一次将这一模型清晰化。当一个学生说到“生活中有很多和植树问题一样的现象”时，就已说明了植树问题的模型已经在学生的思维结构中准确呈现了。经历建模的过程应该是这节课带给学生更深一层的教育价值。
数学课上我们让学生真正经历数学学习的过程，在不断的体验和创造中学习。只有这样，学生才会把数学学习看成是自己的事，数学也才能真正进入学生的内心。“因数和倍数”一课，教师就为学生搭建了这样的平台，学生在学习活动中切切实实地经历了“学会知识，学会学习”的过程，自主地学贯穿了整个学习活动。我们可以明显地看到：概念是随着学生学的进程一点点地完善、一点点地在学生的头脑中堆砌而成的，我想这就是我们所说的自主建构的过程。看书自学中，书中简单的叙述并没有让学生感觉到太多的难点，对于因数、倍数的两个概念学生只是浅层次的感悟。完成判断题的过程，在磕磕绊绊中，在再次寻求依据中，对概念的感受显得逐渐丰满起来。接着，随着后面的“找因
数”、“发现因数本身的规律和特征”等等这些环节的一一推进，因数和倍数的概念在学生自身的知识体系中生长出来。
总之，两节课上，学生以“学习的主人”这样的角色，经历了自主建立模型、建构概念的过程，而这样的经历应该是数学课上赋予学生深层次的教育价值（不仅学会了，而且还会学了）。
（三）自主学习的课堂，因互动生成而实现学生的快乐成长。
在自主学习的教学模式下，“交流互动”这一形式对于学生来讲，往往是修正完善认知、提升思维的关键载体。而对于教师来讲，扮演好交流互动中的角色，又是目标达成的关键所在。很多时候一节课是否成功的关注点就在交流互动这一环节上。教师如果能够做到在“教不越位”的同时让学生能够“学得到位”，就是我们追求的课堂交流的理想境界。教师适时适当的“引和导”，学生才能在互动交流中拾阶而上。借助教师的参与使得学生的交流方向正确、交流的主体（学生）思维活跃并积极参与其中，这就是我们期待的交流中教师要扮演的角色。此时，教师有可能是在学生中间，因为他们的思考需要鼓励，修正；此时，教师还有可能是退到学生身后，因为我们要看到学生思维的自然生长。只有这样才能在开放探究的学习活动中看到精彩的互动生成。老师们能否感受到两节课上，两位教师与学生交流的特点呢？ 1. 交流中顺应学生的思维，学生有话可说。
“植树问题”一课，从一开始我们就看到有少数学生知道“ + 1” 这样一种关系的存在，但是教师并没有让少数会的同学捅破这层窗户纸，而是顺应大多数同学的思维水平，从研究“ 100 ÷ 5=20 求的是什么”入手，当看到 20 是间隔数而不是棵数的时候（如果这时教师站出来对照着图讲一讲棵数与间隔之间的对应关系，棵数比间隔数多 1 并不是很难理解的），为了让学生真正参与到交流互动中来，教师没有这样急于揭示规律，而是让学生再去探究两者之间的关系，画一画的活动虽然不能帮助学生一下子就总结出关系式，但是点与间隔之间的关系已经变成默会知识在学生头脑中存储起来了。有了这样的存储，学生才会有“两棵树共用一个间隔”，“可以用 3 棵树做例子说明”等等这些表达。我觉得在这个过程中，一一对应的思想被自然而然的嫁接到分析两者之间的关系上来，这就是我们追求的数学思想方法的渗透润物细无声的效果。这样始终顺应学生思维的做法，使得学生总是有话可说，学生不是在回答老师的问题，而是有感而发，这是思维成果的自然流淌。 2. 恰到好处的评价与鼓励，促进“交流场”的形成。