中北大学2010届毕业设计说明书
设振动信号傅立叶变换(FFT)得到实部为：Xr?k?虚部为：Xi?k?，其中k为谱线号,k?1,2,N?1，N为时间序列长度，则功率谱为： 2Gxp?Xr2?k??Xi2?k? (2-15)
功率谱代表功率，是谐波频率时域信号幅值的自乘，突出主要频率成分。 3. 倒频谱分析
倒频谱分析是对功率谱取对数，然后在进行傅立叶逆变换，得到频谱中的周期成分。由于功率谱本身是一个偶函数，功率谱的对数也是一个实偶函数，故其傅立叶正变换和逆变换相等，并且也是一个实偶函数。倒频谱的表达式为：
Gxe?t??F?1?lg?Gxp?f??F?lg?Gxp?f??????lgGxp?f?e?j2?ftdf[32]
(2-16)
倒频谱分析可以有效地提取和识别频谱上的周期成分，这是倒频谱分析的第一个优点，倒频谱分析的另一个优点是受信号传递路径影响小，这样就不必考虑传感器位置不同和信号衰减带来的问题。 2.2.2细化谱分析
当调制频率过小且边频带很密集时，由于主瓣重叠，离散谱校正分析技术受到一定限制。为了分析频谱图中的细微结构需要采用细化谱分析技术。
一般调制信号的中心频率较高，而调制频率却很低，故采用细化谱分析(ZFFT)可以更好地分析调制边频带的细微结构，提高故障诊断正确率。细化谱分析对信号频谱中某一频段局部放大，使得分析频段的频率分辨率和频谱分析精度都大为提高，是非常重要的一种高精度谱分析手段，对分析频谱的细微结构非常有效。
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3 小波分析理论
3．1小波分析基础 3．1．1小波分析
小波分析是一种窗口大小固定但其形状可改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频段具有较高的频率分辨率，而在高频段具有较高的时间分辨率。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性，这也是它优于经典傅立叶变换和短时傅立叶变换的地方。小波函数的定义为：设?(r)为一平方可积函数，即?(t)∈L2(R)，若其傅里叶变换?(?) 满足条件：
CV???????(?)d(?)?? （3-1） ?2则称?(f)为一个基本小波或小波母函数。式(2-1)称为小波函数的可容许条件，该条件蕴含着?(0)=0，即函数具有零均值。将小波母函数?(t)经尺度伸缩和时间平移，便得一个函数子波簇?(a,b)(t)，其形式为：
t?b;a?0 ?(ab,()t)?a?( ) a,b?R （3-2）
a12式中a，b分别为伸缩，平移尺度因子；?(a,b)(t)为依赖于参数a，b的小波基函数。
改变伸缩因子a的大小可以改变窗口的形状，调整子波覆盖的频率范围，实现在频域内的平移。改变平移因子b的大小，可以调整子波的时域窗口的位置，实现小波窗口在时域内的平移。
?(ab,()t)是按式(3-2)给出的基本小波，对平方可积分即具有有限能量的函数f(t)?L2(R)的连续小波变换定义为
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CWTf(a,b)?f(t),?a,b(t)?a12?????f(t)?(t?b)dt,a?0 （3-3） a作为母小波，?（t）=0必须是时域上以t=0为中心的实的或复的带通函数，意即为随时间振荡的一段波，小波名称也由此而来。
在式(3-2)中，参数a和b取连续值的小波是连续小波，主要用于理论分析。在实际计算中，必须对尺度系数a和平移系数b进行离散化，a和b取离散值的小波就称为离散小波。离散的方法有多种，通常采用二进制离散小波形式。取
?j?j，其中 a?a0,b?kb0a0a0>1，b0>0，j，k∈Z，则由式(3-2)得
?jt?kb0a0 ?j,k(t)?a?( ) （3-4）?ja0j20这时离散小波变换为 Cf(j,k)??????f(?t),jk t （3-5） (t )d 如果特殊地取a0=2，b0=1，则
?j,k(t)?2?(jt 2?k ) （3-6）这就是经过二进制离散化的小波函数。
小波分析是按照不同的尺度因子j把Hilbert空间L2(R)分解为所有子空间 L2(R)Wj (j∈Z)的正交和，即
L2(R)?? Wj （3-7）
j?zj2其中形为小波函数?(t)的小波子空间，相应的规范正交基为：
?j,k(t)?2?(jt 2?k ) （3-8）小波变换的三层分解结构图如图2—1所示。S表示原始信号，A1-A3表示低频，
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D1～D3表示高频，S=A3+D3+D2+Dl。
图3-1 小波分解结构图
由小波分解结构图可以看出，小波分析是一种多分辨率分析。但小波的多分辨率分析只是对低频部分进行进一步分解，使低频段的频率分辨率越来越高，而高频部分则不予细分。[15] 3．1．2小波包分析
小波包分析是进一步对小波子空间Wj按照二进制分式进行频率的细分：
?Wj?U1j?23W?U?Ujj?1j?1?567?Wj?U4j?2?Uj?2?Uj?2?Uj?2? ?..........
kkK?1?W?U2?U2?1......?U2?1j?kj?kj?k?j?..........?2j2j?12j?1?1W?U?U?......?U000?j式中：j=l2，．．．；k=12，．：相应的规范正交基为
?j,k,n(t)?2?n(2?jt?k) （3—10） 即?j,k,n(t)为具有尺度因子j、位置因子k和频率因子n的小波包(其中j，k∈Z，n∈Z+)与
前面?j,k,(t)比较，增加了一个频率函数n=2t+m。正式因为频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时，频率分辨率低的缺点，从而能够为信号提
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供一种更加精细的分析方法。三层小波包分解结构图如图3-2所示，信号S=AAA3+DAA3+ADA3 +DDA3+AAD3+DAD3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。
图3-2 三层小波包分解结构图
从小波包分解结构图可以看出，小波包将频带进行多层次划分，对小波分解没有细分的高频部分进一步分解。小波包分解能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时—频分辨率。[18] 3．2常用的小波函数及其性质
与傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数具有多
样性。下面介绍几种主要的小波函数
1. Haar小波。Haar小波是小波分析发展过程中用得最早，也是最简单的小波。其函数表达式为：
?10?x?1/2? ?H??11/2?x?1 （3-11）
?0elsewise?Haar小波的支集长度为l，滤波器长度为2。
2. Daubechies小波。Daubechies系列的小波简写为dbN,其中Ⅳ表示阶数，曲是小波名字的前缀，除dbl外，其余的db系列小波函数都没有解析表达式。 3. SymletsA(symN)dx波。Sym小波构造类似于db小波，两者的差别在于sym小波有更好的对称性，更合适于图像处理，减少重构时的相移。
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