中北大学2010届毕业设计说明书
4. Biorthogonal(biorNr．Nd)小波。这是一族双正交小波，满足的正交性为
?l,m??pl
5. Coiflet(coifN)小波。CoiftJ小波是Db小波的进一步发展，有更长的支集长度(6N-1)，更大的消失矩(2N)，对称性比较好。
6. Morlet小波。Morlet小波是一个具有解析表达式的小波，但它不具备正交性，所以只能满足联系小波的可允许条件，但不存在紧支集，不能做离散小波变换和正交小波变换。其解析形式如下： ?(x)?Ce?x22 ) (3-12) cos(x57. Mexican Hat小波。类似于morlet，Mexican hat小波同样有解析的小波函数，也不存在尺度函数，所以不具有正交性。其解析形式为：
x?2?12 ?(x)??4(1?x)e2 (3-13)
328. Meyer小波。Meyer小波是在频域定义的具有解析形式的正交小波，由于不存在紧支集，所以在做离散小波变换时不存在快速算法，在实际应用中，可以用FIR滤波器来模拟Meyer小波构造可逆的滤波器矩阵，使得快速小波变换可以逼近Meyer小波变换[27]。
紧支性是选择小波基的主要因素。当紧支集的长度增加，意味着带通滤波时的通频带宽减小，分辨能力提高，因此可通过改变紧支集的大小来调整通频带宽。在选择小波基时，紧支撑区间越大，反映局部形态的能力就越强，为了有效地提高机械振动信号分析中的时频分辨率，应该选择紧支撑区域大的小波基。然而，紧支撑区间过大，会增and,波变换的计算量，因此需要根据实际情况合理选择。
小波基消失矩必须具有足够的阶数，这样可以有效地突出信号的各种奇异性特征。但是消失矩的阶数也不能太高，过高的阶数使分析结果模糊，而且消失矩阶数与紧支撑区间相关，过高的阶数将增加计算量。
小波基的正则性反映了连续可微的要求，刻画了小波的光滑度，因此必须得
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到满足。一般来说足够的消失矩能够保证其正则性要求。另外，正则性与紧支撑大小有关，紧支撑越大，正则性越好。
对称或反对称的尺度函数和小波函数也是很重要的，因为可以构造紧支的正交小波基，而且具有线性相位。在信号分析中，尺度函数和小波函数又能够作为滤波函数，如果滤波器具有线性相位，则能避免信号在小波分解和重构时的失真。常用的小波主要性质如表3-1所示。
综上所述，在机械故障诊断中为了有效地分析振动信号，在选择小波基时，主要应该满足定区间的紧支撑和足够的消失矩阶数，其次应该满足正则性和对称性，这样可以有效地提取振动信号的故障特征[28] 。
表3-1 常用小波的主要性质
小波族 Haar Db Sym Bior Coif Morl Mexh meyr 正交性 有 对称性 紧支性 消失矩
有 有 1
有
有
有
有
无 有
无 有 有 有
近似 近似 有 N
有 N
无 近似 有 N
有 6N+1
无 无 无 —
— —
3．3小波分析与傅里叶分析比较
在信号处理中，最常用的重要方法之一是傅里叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁，在工程实践中得到了广泛地应用。虽然傅里叶变换能将信号的时域特征和频域特征联系起来，但它是一种全部变换，要么完全在时域，要么完全在频域，不能将二者结合起来。在实际应用过程中也发现其具有的局限性： 1. 傅里叶变换只能应用于稳态信号的分析，不适合用于非稳态信号的分析； 2. 傅里叶变换是一种整体变换，不能作局部分析。
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为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、时频分布、小波变换等。
短时傅里叶变换的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g（t）的一个短时间间隔内是平稳的，并移动分析窗函数，使f(t)g(t-r)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱嗍。但本质上讲，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换可以用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。因而短时傅里叶变换在信号分析上还是存在着很大的缺陷。 小波变换作为一种全新的时间一尺度分析方法，它继承了傅里叶分析用简谐函数作为基函数来逼近任意信号的思想，具有如下特点：
1. 小波分析的基函数是一系列尺度可变函数，对不同的信号可以选择不同的小
波函数和分解尺度； 2. 良好的时-频定位特性；
3. 多分辨率分析，时频分辨率可变，适合对信号做局部分析； 4. 非常适合分析非平稳信号，探测信号中夹带的瞬态反常现象。
因此，在机械设备故障诊断中，利用小波变换对故障信号进行分析和处理具有良好的效果。
综上所述，小波变换具有比傅里叶变换、短时傅里叶变换更优越的性能，能够有效处理机械运动形式复杂、非平稳、噪音大等特点的信号。本文采用小波分析对机械振动信号进行处理[32]。
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3．4本章小结
本章首先研究了小波分析的基本理论，阐述了小波和小波包分解的过程，分析了一些常用小波函数的特性，然后比较了小波分析和傅里叶分析，概括了小波分析的特点，最后确定了小波分析作为本文工作研究的基本理论方法。
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4 小波分析在机械故障诊断中的应用研究
小波分析在机械故障诊断中的应用仍然体现在对故障信号的处理上，主要包括信号奇异点检测、信号降噪和特征提取等方面。本章将主要研究小波分析如何应用于信号降噪和特征提取，并探讨应用过程中小波参数的选取问题。 4．1机械故障信号的小波降噪处理
小波分析在机械故障诊断领域的一个重要应用就是去除故障信号中噪音信号。因为当发生故障时，设备处于非正常工作状态，其振动信号往往夹杂一些随机、高频的噪音，严重情况下，噪音信号还可能淹没有效的振动信号。为了还原信号中的有效成分，有必要对故障信号作降噪处理。
本节将研究小波阈值降噪的基本原理和步骤，通过Matlab仿真分析小波阈值降噪中相关参数对降噪效果的影响，在Matlab一维小波自动降噪函数wden的基础上编写新的降噪函数，提出自动选择最优小波函数进行降噪的思想。
信号和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同特性的机理，随着尺度的增加，噪声系数的幅值很快衰减为零，而真实信号系数的幅值基本不变。由此构造相应规则，在小波域对含噪信号的小波系数进行处理。处理的实质在于减小甚至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度地保留真实信号的系数，最后由经过处理的小波系数重构原信号，得到真实信号的最优估计。
小波去噪方法之所以取得成功是因为小波变换具有以下重要特点： 1. 时频局部化特性。小波变换可在时间轴上准确定位信号的突变点； 2. 多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，可以非常好地刻画信号的非平
稳特征，如边缘、尖峰、断点等，以便于特征提取和保护；
3. 解相关特性。小波变换可以对信号解相关，使信号的能量集中于少数几个小
波系数上，而噪声能量分布于大部分小波系数上；
4. 小波基选择的多样性。由于小波变换可以灵活选择变换基，所以可以针对不
同应用场合选用不同的小波函数，以获得最佳的处理效果。
目前存在的小波去噪方法[33]主要分为贝叶斯方法和非贝叶斯方法，其中非贝叶方法又根据对小波系数处理的方法不同，大致又分三种：1）Mallat提出的利用波变换模极大重构去噪[34,35]；2）Xu Yansun提出的空域相关去噪[36]；3）Donoho
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