中北大学2010届毕业设计说明书
提出的采用非线性小波变换阈值去噪[33]。在实际应用中常用的是这三种方法。
模极大值重构去噪方法是根据信号和噪声在小波变换下随尺度变化呈现出的不同变化特性提出来的，有很好的理论基础，因而去噪性能较为稳定，它对噪声的依赖性较小，不需要知道噪声的方差，特别是对低信噪比的信号去噪时更能体现其优越性。然而它有个根本性的缺点就是在去噪过程中存在一个有模极大值重构小波系数的问题，从而使得该方法的计算量大大增加。另外，其实际去噪效果也并不十分令人满意。
基于小波系数尺度之间相关性原理的空域相关去噪方法，在对含噪信号作小波变换之后，计算相邻尺度间各点小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，从而进行取舍，然后直接重构信号。去噪时取得了很好的效果，实现原理也较简单。但其计算量较大，需要进行迭代，并且用到了小波域阈值去噪的一些思想。在实际应用时，还需要估计噪声方差，才能设定适当的阈值。
第三种小波阈值去噪法是斯坦福大学的Donoho和Johnstone教授于1992年提出的，该方法认为对于小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对于的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。该方法在最小均方误差意义下可达近似最优，并且可取得较好的视觉效果，因而得到了深入的研究和广泛的应用。小波阈值去噪方法是实现最简单、计算量最小的一种方法。但其阈值的选取比较困难，虽然Donoho在理论上证明并找到了最优的通用阈值，但实际应用中效果并不十分理想。另外，阈值的选取还依赖于噪声的方差，因此需要事先估计噪声方差。
通过定性比较我们可以得到如图4.1所示的分析[37]：
去噪方法 模极大值重构去噪 空域相关去噪 计算量 稳定性 去噪效果 适用范围
大 稳定 较好 低信噪比信号
较大 较稳定 好
阈值去噪 小 依赖于信噪比
好
高信噪比信号 低信噪比信号
图4.1：三种去噪方法的定性比较
从比较结果看，三种方法都有各自的优点和缺陷，没有一种方法完全优于另一种方法。在实际应用中，也常把上述方法有机地结合起来使用，这样效果会更
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佳。下面分析传统的小波阈值去噪方法。 4.2小波阈值去噪方法原理
在信号处理、模式识别、自动控制等很多的学科中，信号噪声的存在往往使得问题的分析变得复杂，并且使得实际应用时系统的状态变化偏离理论分析的结果，造成方法分析的误差甚至使方法失效。所以信号去噪是信号处理的重要内容之一。去噪算法是利用噪声的先验知识对含噪信号在信噪比增益和均方误差意义上进行估计的方法。传统的基于傅立叶分析的信号去噪方法存在着保护信号局部特性和抑制噪声之间的矛盾。而在对被噪声污染的信号进行滤波时，总希望在滤除噪声的同时不过多平滑掉信号的细节，这是采用傅立叶变换的信号去噪方法很难做到的。
尽管目前提出了许多不同的小波域去噪的方法，由于小波阈值去噪方法简单有效，故得到广泛应用，也相继提出了一些改进算法[38][39][40]。但是在改进软阈值去噪算法中大都包含需要通过经验得到的待定参数，这样就带有一定的猜测性，使得去噪效果不稳定。本文根据随机噪声的概率特点提出了采用小波熵理论选择阈值函数中待定参数最佳值的方法。它利用随机噪声小波系数和去噪之后的有用信号的概率分布特征选择最佳参数值，从而在尽可能消除噪声的情况下尽量小的影响真实信号，从而使其具备了比软、硬阈值更好的去噪效果。
4.3基于小波熵的最优阈值去噪方法
设有一观测信号：
x?t??s?t??n?t? (4-1)
其中x( t)为含噪信号，s (t)为原始信号，n( t)为加入的噪声。 对x (t)作离散小波变换，可得：
wx?j,k??ws?j,k??wn?j,k?,j?0,1,2J;k?0,1,2,N (4-2)
其中wx?j,k?,ws?j,k?,wn?j,k?分别是含噪声信号，原始信号和噪声信号在第j层上的西伯系数，分别记作wjk,ujk,vjk；J为小波变换的最大分解层数；N为信号长度。如果可以准确估计出原始信号的小波系数ujk则可以通过小波重构就可以获得准确的原始信号，因此小波去噪问题就化为了原始信号的小波分解系数ujk第 22 页 共 49页
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的估计问题。
小波阈值去噪方法的基本思想是：当wjk小于某一阈值时，wjk主要由噪声引起，则可以认为wjk?vjk，并将其舍去；当wjk大于大于阈值时，小波系数主要由信号引起，可认为wjk?ujk
小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理，这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取。D.L Donoho提出的软、硬阈值函数[41]分别如式(4.3),(4.4)。
?sgn?wjk?wjk??,wjk???ujk?? (4-3) ??0,wjk??????wjk,wjk??ujk?? (4-4) 0,w???jk?其中sgn()为符号函数，阈值λ为?2logN，σ为噪声的标准差，可通过最小尺度上的小波系数来估计，其估计值??2medianw1,k0.6745??，其中median?w?表示
1,k取第一层所有小波变换系数w1,k幅值的中间值，N为信号长度。
软、硬阈值方法虽然在实际中的得到了广泛的应用，也去得了较好的效果，但他们本身存在着较多的缺点：
(1) 软阈值法该阈值方法函数在小波域内对于大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符。 (2) 硬阈值法该阈值函数在整个小波域内只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，与实际情况下大于阈值的小波系数也存在噪声信号的干扰不相符，势必影响信号重构的精度。
对于一个不确定性系统，若用一个取有限个值的随机变量X表示其状态特征，取值为xj的概率pj?p?X?xj,j?1,2,l?，且?pj?1则X的某一结果得
j?1l??到的信息可以用Ij?log?1?表示，于是信息熵为：
?Pj?第 23 页 共 49页
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H?X????Pjlog?pj? (4-5)
j?1l信息熵H是在一定的状态下定位系统的一种信息测度，它是对序列未知程度的一种度量，可以用来估计随机信号的复杂性。对于信号去噪问题，由最小信息熵可知，得到的式(4-1)中的原始信号s( t)和噪声信号n( t)相关性越小，它们的熵之和越小。因此，令去噪后得到的原始信号s( t)和噪声信号n( t)的信号熵之和最小，此时的去噪效果最优。
小波熵W定义为：
W???Pjlog?pj?,m为分解层数，pj?j?1mEjE (4-6)
在去噪过程中，令原始信号和噪声之间的相关性尽量的小，即令原始信号的小波熵Ws和滤掉的噪声的小波熵Wn之和尽可能的小，这时去噪阈值函数是最优的。
由式4-3得：去噪后原始信号的小波系数为：
?sgn?wjk?wjk??,wjk???ujk?? (4-7) 0,w???jk???滤掉的噪声的小波系数为：
?wjk,wjk??? (3-8) Vjk????0,wjk??令Es是经过去噪后保留信号的总能量，En是滤掉的噪声的总能量
Es??w1i2??w2i2?ii??wmi2iEn??V1i??V2i?22ii??Vmii2 (4-9)
则保留信号的小波熵：
Ws???j?1mEsjEslogEsjEs (4-10)
滤掉的噪声的小波熵：
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VWs???sjj?1mVslogVsjVs (3-11)
令W?Ws?Wn，由式4-7到式4-11可以得出W是关于阈值λ的一个函数。当W最小时，待定参数λ为最优。寻找最佳待定参数λ其算法如下： 1. 计算被噪声污染的信号的小波变换；选择合适的小波和小波分解层数，得到
相应的小波分解系数wjk；
2. 对分解得到的小波系数wjk，运行新阈值函数式(4-7)和(4-8)进行阈值计算。 3. 计算出W?Ws?Wn的小波熵之和，当小波熵之和最小时，得到λ为最佳参数
值。 4.4仿真与对比
为了说明新阈值函数在阈值去噪算法中的有效性，对一段有噪声的Blocks信号分别用传统的软硬阈值方法和新阈值函数进行了去噪实验。其中输入信号的信噪比(SNR)为5dB,采用小波基是db3小波，最大分解层数为5层。图4.1中(a)为原始Blocks信号，没有噪声污染，(b)为加入的均值为0，方差为1的白噪声,(c)为加入白噪声后信噪比为5dB的含噪Blocks信号。其程序见附件程序4.1。
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