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（Ⅰ）证明：
a?bc； ?2a?ba?c222222（Ⅱ）证明：不论x取何值总有bx?(b?c?a)x?c?0； （Ⅲ）若a?c≥2，证明：
111??.
a?c?1(c?1)(a?1)6
黄冈中学
湖北省 2008春季高一数学期末考试试题（文）
鄂南高中
命题：张科元 审稿：王宪生 校对：胡华川
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若sin??????A．第一、二象限 [提示]：?sin???4，则?角的终边在（ D ） 5B．第二、三象限
C．第一、四象限
D．第三、四象限
4?0，∴?角的终边在第三、四象限． 5???????2．若a?(1,2)，b?(4,k)，c?0，则(a?b)c? （ B ）
A．0
? B．0
C．4?2k D．8?k
????[提示]：?(a?b)c?0．
3．已知a,b为非零实数，且a?b，则下列不等式成立的是（ D ） A．a?b B．
2211? C．|a|?|b| D．2a?2b abx[提示]：不知a,b的正负，A ，B ，C都不能确定，而函数y?2单调递增．
?????(a?a)b????????4．若向量a与b不共线，a?b?0，且c?a?，则向量a与c的夹角为（ A ） a?bA．
ππ B． 26 C．
π 3 D．0
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??????(a?a)b?a??a????????????a?b?a?a?a?aa?c?????????0． [提示]：设向量a与c的夹角为?，cos???|a|?|c||a|?|c||a|?|c|5．若a?0,b?0,且a?b?2，则下列不等式一定成立的是（D）
A．ab?212222 B．ab? C．a?b?2 D．a?b?2 22a2?b2，∴a2?b2?2． 222a?b?[提示]：?ab?226．设m,x?R,M?x?2m,N?mx?m?1，则M,N的关系为 （ A ） A．M?N B．M?N C．M?N D．M?N [提示]：?M?N?x?mx?m?1?(x?22m232)?m?1?0． 247．函数y?2sin?xcos?x (??0)的最小正周期为?，则函数f(x)?2sin(?x?一个单调增区间是（C） A．[?，]
?2)的
??22 B．[，??
?2 C．[?，]
??2 D．[0，]
?2[提示]：∴??1,f(x)?2sin(x??y?2sin?xcos?x?sin2?x,(??0)．在[?，]上单调递增．
8．已知函数f(x)?tan(2x?b?)的图象的一个对称中心为(解析式为（D） A．tan(2x?C．tan(2x??2 )?2cosx，
??2?3,0)，若|b|?1，则f(x)的 2??) B．tan(2x?) 36?)或tan(2x?) D．tan(2x?)或tan(2x?) 6363?k?2k111[提示]：?2??b?? ,∴b??，(k?Z)，又|b|?，∴k?1,2，b??或．
32322369．已知偶函数f(x)满足：f(x)?f(x?2)，且当x?[0,1]时，f(x)?sinx，其图象与
????????1P?P直线y?在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P则P等于（ B ） 13P241,P2?，
2A．2 B．4 C．8 D．16
??????????[提示]：依题意P1P3与P2P4同向，且P1,P2,P3,P4四点共线，P1与P3， P2与P4的横坐标都??????????????????????????????|PP|?2|PP|?2PP?PP?|PP||PP相差一个周期，所以13，24，13241324|?4．
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????????10．设S是?ABC的面积，A,B,C的对边分别为a,b,c，且2SsinA?(BA?BC)sinB，
则 （A）
A．?ABC是钝角三角形 B．?ABC是锐角三角形 C．?ABC可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形 D．无法判断
????????1[提示]：?2SsinA?(BA?BC)sinB，∴2a?bcsinA?b?cacosB，∴sinA?cosB，
2∴?B为锐角，sinA?cosB?sin(角三角形，若?A为锐角，则A??2?B)，若?A为钝角，且满足上式，则?ABC是钝
?2?B,?A?B??2,C??2，?ABC是钝角三角形．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
????????????11．在平行四边形ABCD中，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则AD?____.（用坐标表示） ????????????????????[提示]：?AB?DC?(2,4)，∴AD?AC?DC?(1,3)?(2,4)?(?1,?1)．
????????12．已知三点A(1,2),B(2,?1),C(2,2)，若E,F为线段BC的三等分点，则AE?AF＝ 3．
[提示]：?B(2,?1),C(2,2)，E,F为线段BC的三等分点，∴E(2,0),F(2,1)，
????????????????AE?(1,?2),AF?(1,?1)，∴AE?AF?1?2?3．
1x的最大值为_________. ,(x?1)26x?2x?4x111[提示]：?f(x)?2???，当且仅当x?2时取等号．
x?2x?4x?4?224?26x14.已知关于x的方程sinx?coxs?a的解集是空集，则实数a的取值范围是
13．函数f(x)?_______(???2)?(2,??)_______． [提示]：?a?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2,2]，又其解集为空集，∴a?(??,
4??2)?(2,??)．
15．已知实数a、b、c满足条件ab?bc?ca?1，给出下列不等式： ①ab?bc?ca?1；②
222222112222③ (a?b?c)?2；④abc?abc?abc?； ?23；abc3其中一定成立的式子有__③④_______． [提示]：a?b?c?32时排除①；a?2，b?3，c??1时排除②；而(a?b?c) 3?a2?b2?c2?2(ab?bc?ca)?3(ab?bc?ca)?3?2，∴③成立；(ab?bc?ca)2
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?3[(ab)(bc)?(bc)(ca)?(ca)(ab)]?3(a2bc?ab2c?abc2)，∴④成立．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题满分12分）解关于x的不等式：log1(x2?4x?3)?log1(?x?1)．
2222[解答]：由x?4x?3?0,?x?1?0，得x?1，所以依对数的性质有：x?4x?3??x?1,∴x?3x?2?0,∴x?2或x?1，又x?1，∴x?1，不等式的解集为?x|x?1?．
2?17．（本小题满分12分）若将函数f(x)?sinx的图象按向量a?(??,?2)平移后得到函数
g(x)的图象．
（Ⅰ）求函数g(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数F(x)?f(x)?1的最小值． g(x)?[解答]：（Ⅰ）设P(x,y)是函数f(x)?sinx的图象上任意一点，按向量a?(??,?2)平移
''???x?x???x?x??后在函数g(x)的图象上的对应点为P(x,y)，则：?'，∴?，即 '???y?y?2?y?y?2'''y'?2?sin(x??)，所以函数g(x)??sinx?2；
（Ⅱ）?F(x)?f(x)?111?sinx??sinx?2??2? g(x)sinx?2sinx?22(sinx?2)?11,即sinx??1时，F(x)min?0． ?2?0，当sinx?2?sinx?2sinx?2????????????18．（本小题满分12分）已知向量OA?(3,?4),OB?(6,?3),OC?(5?x,?3?y).
（Ⅰ）若点A,B,C能构成三角形，求x,y应满足的条件； （Ⅱ）若?ABC为等腰直角三角形，且?B为直角，求x,y的值．
????[解答]：（Ⅰ） 若点A,B,C能构成三角形，则这三点不共线，?AB?(3,1),
????AC?(2?x,1?y), ∴3(1?y)?2?x，∴x,y满足的条件为3y?x?1（若根据点A,B,C能构成三角形，必须|AB|?|BC|?|AC|，相应给分）；
?????????????????AB?(3,1),BC?(?x?1,?y)，（Ⅱ）若?B为直角，则AB?BC，∴3 (?x1)??y0?，
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?????????x?0?x??222 又|AB|?|BC|，∴(x?1)?y?10，再由y?3(?x?1)，解得?或?．
?y??3?y?319．（本小题满分12分）在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． [解答]：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，?tanA?13，tanB?． 451?tanC??tan(A?B)? 413?45??1．又?0?C?π，?C?3π； ?1341??45（Ⅱ）?C?3????，?AB边最大，即AB?17．又?tanA?tanB，A，B??0，?， 4???41717ABBC，? sinA?．由得：?1717sinCsinA?角A最小，BC边为最小边．?cosA?BC?AB?sinA?2，所以，最小边BC?2． sinC20．（本小题满分13分）“5?12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，
都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治。设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处，AB?10km，BC?5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．
（Ⅰ）设?BAO??(rad)，将y表示为?的函数； （Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
[解答]：（Ⅰ）如图，延长PO交AB于点Q，由题设可知
A O B
D P C
1AB?5，AO?BO，PO?5?OQ，在Rt?ABC中，2510?AO?,OQ?5tan?，?y?AO?BO?PO??5?5tan?，又?0???，
cos?cos?410??y??5tan??5,(0???)；
cos?4102?sin?2?sin??（Ⅱ）?y??5tan??5?5??5，令u?,0???，则
cos?cos?cos?4BQ?AQ?3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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ucos??sin??2,?u2?1sin(???)?2,(tan??u)，?sin(???)?2u?12?1，
?u?3或u??3（舍），当u?3时，??站的位置O满足???3,????[0,]，所以y最小，即医疗
64??6,AO?BO?10353km,PO?5?km，可使得三个乡镇到医疗33站的距离之和最短．
21. （本小题满分14分）已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. （Ⅰ）证明：
a?bc； ?2a?ba?c222222（Ⅱ）证明：不论x取何值总有bx?(b?c?a)x?c?0； （Ⅲ）若a?c?2，证明：
111??.
a?c?1(c?1)(a?1)6[解答]：（Ⅰ）?a,b,c?0，∴要证
2a?bc，即证(a?b)(a?c)?(2a?b)c，整理?2a?ba?c得：a?ab?ac，即证a?b?c，而a?b?c在三角形中显然成立，则原不等式成立； （Ⅱ）令y?bx?(b?c?a)x?c，由余弦定理b?c?a?2bccosA，
222222222???(b2?c2?a2)2?4b2c2?4b2c2cos2A?4b2c2?4b2c2(cos2A?1)，在三角形中
cos2A?1，???0，再由b2?0得：不论x取何值总有b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0；（Ⅲ）?a?c?0，∴
111?c?11???? ??a?c?1(c?1)(a?1)c?1?a?c?1a?1?1?c?a?c?11?????c?1?a?c?a?c?1a?1?1a21111??2?????31c?12a?3a?1c?12?(?)c?12aa2111??，即原不等式成立. 2?126
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