图 1.15 某投影物镜的轴向球差曲线
图1.15中球差曲线纵轴表示归一化孔径。横轴表示轴向球差值，球差与光束孔径之间的数值关系，有Longitudinal Aberration曲线视窗中“TEXT”给出详细数据。由球差曲线，可以看出单色球差值，高级球差数值，0.707孔径轴向色差和色球差数值。Primary波长球差曲线在0孔径时的球差值，表示镜头系统的像面与高斯像面有无离焦量。
球差一般用于评价轴上物点的成像质量，如果镜头系统具有大相对孔径，那么球差是影响成像质量的主要像差，且球差与光束孔径高之间的关系已不仅仅是二次函数关系（即初级球差），还存在高次方关系（高级球差）。
? Lateral Color
Lateral Color 是垂轴色差，又称倍率色差，是主光线的像差。物方的一根复色主光线，因折射系统存在色散，在像方出射时将变成多根光线，把F光和C光在像面上的交点位置之差，称为垂轴色差。图1.16表示了1.3节例工作波长选成F，D，C光时的垂轴色差曲线，纵轴是归一化视场，横轴为垂轴色差数值，单位为：μm，垂轴色差是一种只跟视场有关的像差，如果视场不大则呈现与视场的线性关系，如视场较大，但还会出现与视场的三次方关系。也可以对每一种波长绘制出它与Primary主波长交点之间差值的垂轴色差曲线。
以上四种是ZEMAX提供的主要几何像差，ZEMAX没有提供跟慧差有关的像差曲线。如果要看慧差，可用ZEMAX Program Language编写程序，计算出慧差与视场、光束孔径之间的数值关系。
在Miscellaneous中，还给出其他功能，如Footprint Diagram可以显示每一个光学面上的通光情况，用于查看渐晕或检查表面通光面积：Y-Y bar Diagram是国外教材和专著讨论较多的
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作图法光学设计方法。Y指轴上物点光线在每一个光学面上的高度，Y指全视场主光线在每一个光学面上的高度，从理论上只要知道每一个光学面上的Y、Y和焦氏不变量，就能求出每一个光学面的曲率Cj，焦距及光学面之间的间隔，且为唯一解。
图 1.16 1.3节例中的垂轴色差曲线
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第二章 ZEMAX优化与操作符
前一章讨论了ZEMAX光学设计软件中的用户界面功能与像质评价指标的物理意义。在此基础上可以进行光学设计中初始结构的建立与像质评价。如果像质不能满足使用要求，需要对初始结构尝试优化设计。优化设计是光学设计中的重要阶段，由像质评价技术课程，优化设计涉及评价函数、权因子、阻尼因子等重要概念。在常用的阻尼最小二乘法优化设计的基础上，还有全局优化（Global Search）和海默（Hammer）优化。其中全局优化采用的算法是遗传算法、逃逸函数法、专家系统、传统阻尼最小二乘法的组合算法；海默优化算法，是基于全局优化获得或专家给出的已经很好的初始结构，做再次精炼的最优算法。
本章主要讨论常用的阻尼最小二乘法优化方法，在实施优化设计时所涉及到的概念。
2.1 Merit Function（评价函数）的构成要素
Merit Function 评价函数，是光学系统如何与指定的设计目标相符的数字代表。评价函数值为0，表示当前光学系统完全满足设计目标要求。评价函数值愈小，表示愈接近。由Editors→ Merit Function可打开评价函数编辑器。
一般地，评价函数可定义为设计目标像差值与当前系统像差值之差的平方和，结合权因子构成。定义式可写成：
MF2?W(V?T)??(V??W2iiiij?Tj)2
（2.1）
其中Vi是第i种操作符的实际值，Ti为第i种操作符的目标值，Wi为第i种操作符的权因子。这里的操作符是ZEMaX使用的可以代表“广义像差”的符号。有关概念将在本章第2节开始介绍。式中除以?Wi表示评价函数中权因子被自动归一化。Wi?0，该操作符被当作像差，ZEMAX设计让 Wi(Vi?Ti)2达到局部最小；Wi?0，该操作符无作用；Wi?0，则ZEMAX自动设置Wi?1；此时，Wi(Vi?Ti)2自动用(Vj?Tj)2代替，称之为Lagrangian Multipliers(拉格朗日乘子)，一般(Vj?Tj)2对应透镜的边界条件。
因此，评价函数由操作符以及相应的目标值、权因子构成。
2.2 评价函数的“默认”（缺省）构成方法
评价函数的建立及构成元素的确定，是光学设计人员参与的重要内容之一，需要使用者确定由哪些像差构成评价函数中的元素，这里的像差，可以指独立几何像差、弥散图（点列图）、波像差、传递函数等，以及光学系统高斯数据如焦距、放大倍率、总长等等。因此评价函数的
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建立是光学设计初学者的难点之一，主要涉及（1）选择哪些像差元素构成评价函数；（2）每一个像差的元素权因子选择为多少？
ZEMAX提供了便捷的评价函数建立方法，也提供了柔性的由设计者自由发挥的建立方法，前者称之为“傻瓜”建立方法。
通过“Editors → Merit Functions → Tools → Default Merit Functions”可以打开“傻瓜”评价函数建立对话框，如图2.1所示。
图 2.1 “傻瓜”评价函数建立的对话框
由图2.1所示，建立“傻瓜”评价函数时，一般选择反映像质的“总体”指标，如弥散圆或波像差等，并且要做如下考虑：
（1） 选择像质评价指标的RMS值还是Peak to Valley (PTV) ？
（2） 使用波像差（Wavefront），还是点列图（弥散圆）（即Spot Radius， Spot X，Spot
Y， Spot X+Y）？
（3） 像质指标的零点在哪里？
（4） 选择哪种光瞳细分方式（Pupil Integration Method）？
图2.1中内容有四块，第一为“Optimization Function Reference”，具有“RMS/PTV、Wavefront/Spot、Centroid/Chief Ray/Mean”等选项；第二为“Pupil Integration Method”，选择入瞳面细分方法；第三块为“Thickness Boundary Values”，定义边界条件；第四块为评价函数有关的其他辅助选项。
?
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RMS或PTV
RMS是Root-Mean-Square的缩写，表示求出均方根偏差； PTV是Peak-to-Valley，俗称峰谷值。 ? RMS或PTV
Wavefront是波像差，单位为：波长单位；
Spot X指像面上X,方向的最大垂轴几何像差值，Spot Y类推； Spot X+Y指像面上X, Y方向的最大弥散，考虑像差的符号。
? Centroid / Chief Ray/Mean
Centroid－质心，一般指某一视场的质心（即每一个俗称具有一个质心），尤其适用于波像差构成的评价函数，此时可扣除波差数据中的常数项（Piston），X-Tilt与Y-Tilt。Chief Ray是使用主波长时的主光线时的主光线作为计算基准，这是过去常被使用的计算基准。Mean值平均，仅适用于选取Wavefront来构造评价函数的场合，其与Centroid的差别，是仅从波差数据中扣除常数项（相当于Mean Wavefront），但不扣除X-Tilt和Y-Tilt。
? Pupil Integration Method
Pupil Integration Method为光瞳积分方法，需要对光瞳（一般指入瞳）进行细分，与某一视场一起，产生充满光学系统入瞳的入射光线。光瞳细分方法具有Gaussian Quadrature方法与Rectangular Array方法。
Gaussian Quadrature为高斯二次积分，简称GQ，用Rings×Arms来定义光线数目，高斯积分方法是诸多方法中需要计算光线数目少，但精度高的一种方法，所以是ZEMAX中的首选方法。Rectangular Array为矩形网格（RA），用Grid（4×4，6×6，8×8，??）形式确定光线数，计算速度慢且精度低。
? Thickness Boundary Values
用于定义光学系统中玻璃或空气的最小与最大中心厚度，以及最小边缘厚度，其中玻璃最小与最大中心厚度要根据光学系统中元件的口径按经验或参考文献[2](李林等，《光学设计手册》，北京理工大学出版社，1996.8，第二版)中关于透镜边缘及中心厚度给定。
完成定义后，要注意查看评价函数编辑器中当前光学系统参数的边界条件有无越界，尤其是空气间隙中像距跟普通透镜间隔边界要求不同，要注意区分。
? 其余辅助选项
“Assume Axial Symmetry”复选框，如果当前光学系统为旋转对称系统，则选之，此时仅追迹一半光瞳的光线。
“Ignore Lateral Color”复选框，缺省条件下，不予选中，表示ZEMAX计算所有的RMS或PTV时，相同视场不同波长的光线选用同一计算标准，即主波长光线或质心（Centroid）；如果选中，每一波长具有自己独立的计算基准，适用于设计分色棱镜或分光光谱光学系统。
“Start At”指评价函数编辑器中的操作符起始行序号，定义该序号的目的主要是防止覆盖原先定义好的操作符。
“Relative X Weight”定义相对权重，仅当选用Spot X+Y时才起作用，定义点列图中X分
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