第五章 平面向量 四 解斜三角形
【考点阐述】
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】
（一）选择题（共8题）
1.（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为?的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （A）2sin??2cos??2； （B）sin??3cos??3 （C）3sin??3cos??1； （D）2sin??cos??1
【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.
2.（湖北卷理3）在?ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=
222266A －3 B 3 C －3 D 3
15103?sinB??sinB，3，【答案】C【解析】由正弦定理得sin60解得又因为a>b，所以A>B，
1621?sinB=1-=?33,故选C。 故?B<60，所以cosB?c?3.（湖南卷理6文7）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，
则
A、a>b B、a
2a,
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。 4. （江西卷理7）E,F是等腰直角?ABC斜边AB上的三等分点，则tan?ECF?
16A．27
2B．3
3C．3 3 D．4
【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦
cos?ECF?定理得
43tan?ECF?5，解得4
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得
cos?ECF?43tan?ECF?5，解得4。
5.（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB?b，则△OAB的面积等于 (A)|a|2|b|2?(a?b)2 (B) |a|2|b|2?(a?b)2 11|a|2|b|2?(a?b)2|a|2|b|2?(a?b)2(C) 2 (D) 2
111,,13115，则此6.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
人能 【答】（ ）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 （C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知
111a?b?c,?a:b:c?13:11:513115
52?112?132cosA??02?5?11由余弦定理得，所以角A为钝角，选D
7.（上海卷文18）若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC?5:11:13，则△ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sinA:sinB:sinC?5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
52?112?132cosc??02?5?11 由余弦定理得，所以角C为钝角，选C
8．（天津卷理7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a?b?3bc，
22sinC?23sinB，则A=
（A）30 （B）60 （C）120 （D）150 【答案】A
【解析】由sinC=23sinB结合正弦定理得：c?23b，所以由于余弦定理得：
0000b2?c2?a2b2?c2?(b2?3bc)c2?3bccosA??cosA???2bc2bc2bc
(23b)2?3b?23b?32b?23b2，所以A=30°，选A。
【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。 （二）填空题（共7题）
1.（北京卷理10文10）在△ABC中，若b = 1，c =3，【答案】1。
?C?2?3，则a = 。
3sinC1??sinB??b?2?1?B?,A??Bc2，因此366解析：，故a?b?1
2.（广东卷理11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .
【答案】1．
13nis??sinAsin60，解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，即
A?12．由
a?b知，A?B?60?，则A?30?，C?180??A?B?180??30??60??90?，sinC?sin90??1.
3. （广东卷文13）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= .
ba??6cosC4（江苏卷13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，ab，则tanCtanC??tanAtanB__
【答案】4，考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
cosC?当A=B或a=b时满足题意，此时有：
1C1?cosC1C2tan2??tan?3，21?cosC2，22，
tanA?tanB?1Ctan2?2tanCtanC?，tanAtanB= 4。
a2?b2?c23c2ba222222??6cosC?6abcosC?a?b6ab??a?b,a?b?ab2ab2 （方法二），tanCtanCsinCcosBsinA?sinBcosAsinCsin(A?B)1sin2C???????tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
1c2c2c2?????421cosCab(a2?b2)1?3c662由正弦定理，得：上式=
15． （全国Ⅰ新卷理16）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=2DC，?ADB=120°，AD=2，
若△ADC的面积为3?3，则?BAC=_______
0?2【答案】60 解析：设BD?a，则DCa，由已知条件有
S?ADC?11AD?DC?sin?ADC??2?2asin600?3a?3?3?a?3?122，再由余
22弦定理分别得到AB?6,AC?24?123，再由余弦定理得
cos?BAC?12，所以
?BAC?600．
6． （全国Ⅰ新卷文16）在△ABC中，D为BC边上一点，BC?3BD,AD?2, ?ADB?135?.若AC?2AB,则BD=_____
【答案】2?5 解析：设BD?a,AB?b，在?ABD和?ADC中分别用余弦定理可解得． 7． （山东卷理15文15）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A的大小为______________.
?【答案】6【解析】由sinB?cosB?0 2得1?2sinBcosB?2，即sin2B?1，因为 22=B=45?，又因为a?2，b?2，所以在?ABC中，由正弦定理得：sinAsin45?，解sinA?得 12，又a 【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。 （三）解答题（共17题） 1.（安徽卷理16）设?ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且