2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB?sinC?1，是判断?ABC的形状。
22a?(2b?c)b?(2c?b)c 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
222a?b?c?bc 即
222由余弦定理得a?b?c?2bccosA
1cosA??,A?120?2故
222sinA?sinB?sinC?sinBsinC. （Ⅱ）由（Ⅰ）得
又sinB?sinC?1，得
sinB?sinC?12
因为0??B?90?,0??C?90?， 故B?C
所以?ABC是等腰的钝角三角形。
8.（全国Ⅰ卷理17文18）已知VABC的内角A，B及其对边
a，b满
a?b?acotA?bcotB，求内角C．
9. （全国Ⅱ卷理17文17）?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，
sinB?513，
cos?ADC?35，求AD．
【分析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。
cos?ADC?【解析】由
3??0知B?52
cosB? 由已知得
124,sin?ADC?135，
从而 sin?BAD?sin(?ADC?B)
=sin?ADCcosB?cos?ADCsinB
41235???? 513513
? 由正弦定理得
3365.
ADBD? sinBsin?BAD,
33?BD?sinBAD?sin?BAD 所以
=513=253365.
53?310.（陕西卷理17）如图，A，B是海面上位于东西方向相距
??海里的两个观测点，
现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 解 由题意知AB=
海里，
∠ DAB=90°—60°=30°，∠ DAB=90°—45°=45°，
∴∠ADB=180°—（45°+30°）=105°，
在△ADB中，有正弦定理得
11.（陕西卷文17）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
AD2?DC2?AC2100?36?1961??2, 2AD?DC由余弦定理得cos?=2?10?6??ADC=120°, ?ADB=60°
在△ABD中，AD=10, ?B=45°, ?ADB=60°， ABAD?由正弦定理得sin?ADBsinB,
AD?sin?ADB10sin60???sinBsin45?
10?2232?56.
?AB=
?????1???3S?,AB?AC?3cosB?25，求cosC. 12.（四川卷理19 II）已知△ABC的面积，且
解析：
ACcosB?ABcosC。 ?13.（天津卷文17）在ABC中，
（Ⅰ）证明B=C：
???14B???3cosA??的值。 3（Ⅱ）若=-，求sin
【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二
倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.
sinBcosB【解析】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinC=cosC.于是
sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.
1（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=3.
22又0<2B
2742cos22B?sin22B??9. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=9，cos4B=
sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin?333 所以
???42?7318。
cos2C??14
14.（浙江卷理18）)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
110（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=4，及0＜C＜π所以sinC=4.
?ac?（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理sinAsinC，得c=4 16由cos2C=2cos2C-1=4，J及0＜C＜π得cosC=±4
?由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±6b-12=0 解得 b=6或26 所以 b=6 b=6
c=4 或 c=4
15.（浙江卷文18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，
S?满足
32(a?b2?c2)4。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值。
解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能
力。
13 (Ⅰ)解：由题意可知2absinC=4,2abcosC.所以tanC=3. π因为0 2π（Ⅱ)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(π-C-A)=sinA+sin(3-A) 1π3=sinA+2cosA+2sinA=3sin(A+6)≤3. 当△ABC为正三角形时取等号， 所以sinA+sinB的最大值是3. 2?x?f?x??cos?x????2cos2,x?R3?2?16.（重庆卷理16）设函数。 （Ⅰ）求 f?x?的值域； （Ⅱ）记?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若的值。 f?B?=1，b=1,c=3，求a