数 学
F单元 平面向量
F1 平面向量的概念及其线性运算
10．F1[2014·福建卷] 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，→＋OB→＋OC→＋OD→O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA等于( )
→ B．2OM→ A.OM
→ D．4OM→ C．3OM
10．D [解析] 如图所示，因为M为平行四边形ABCD对角线→＝－MC→，MB→＝－MD→. 的交点，所以M是AC与BD的中点，即MA
→＋OC→＝(OM→＋MA→)＋(OM→＋MC→)＝2OM→. 在△OAC中，OA
→＋OD→＝(OM→＋MB→)＋(OM→＋MD→)＝2OM→， 在△OBD中，OB
→＋OC→＋OB→＋OD→＝4OM→，故选D. 所以OA
12．F1[2014·江西卷] 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α1
＝3.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
12．3 [解析] 因为|a|2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9×1－
1
12×1×1×3＋4×1＝9，所以|a|＝3.
5．F1、A2[2014·辽宁卷] 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q
为真命题．
6．F1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D，E，F分别为△ABC的三边→＋FC→＝( ) BC，CA，AB的中点，则EB
1→→A.AD B.2AD 1→→ C.2BC D.BC
116．A [解析] EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝2AC＋2AB＝AD. 14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．
a·cb·c
14．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，|a|·|c||b|·|c|
（1，2）·（m＋4，2m＋2）（4，2）·（m＋4，2m＋2）即＝，即5m22221＋24＋2
8m＋20
＋8＝2，解得m＝2.
F2 平面向量基本定理及向量坐标运算
3．F2[2014·北京卷] 已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)
3．A [解析] 2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．
3．F2[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )
A．(－2，1) B．(2，－1)
C．(2，0) D．(4，3)
3．B [解析] b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)． →＝(1，－3)， 12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量OA
→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________． |OA
→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所12．25 [解析] 由题意知，OB以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝2 5.
12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值中，已知AB＝8，AD＝5，CP是________．
图1-3
12．22 [解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP13
＝AD＋4AB，BP＝BC＋CP＝AD－4AB，所以AP·BP＝3??→1??1322
?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD－AD·AB－AB＝2.又因为AB＝8，
4??4?216?
31
AD＝5，所以2＝25－16×64－2AB·AD，故AB·AD＝22 .
7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若π
向量a，b的夹角为6，则实数m＝( )
A．23 B.3 C．0 D．－3
π3＋3ma·b3
7．B [解析] 由题意得cos 6＝＝，即2＝|a||b|29＋m23＋3m
2，解得m＝3. 29＋m
π13．F2[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜2，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(1，－cos θ)，若a·b＝0，则tan θ＝______.
π1213.2 [解析] 由a·b＝0，得sin 2 θ＝cosθ.又0<θ<2，∴cos 1θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝2. 18．F2[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在 △ABC三边围成的区域(含边界)上，→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)． 且OP
2→|； (1)若m＝n＝3，求|OP
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值． 2→→＝(2，1)， 18．解： (1)∵m＝n＝3，AB＝(1，2)，AC→＝2(1，2)＋2(2，1)＝(2，2)， ∴OP33→|＝22＋22＝22. ∴|OP
→＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)， (2)∵OP
??x＝m＋2n，∴? ??y＝2m＋n，
两式相减，得m－n＝y－x.
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
14．F1、F2[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．
a·cb·c
14．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，|a|·|c||b|·|c|
（1，2）·（m＋4，2m＋2）（4，2）·（m＋4，2m＋2）即＝，即5m22221＋24＋2
8m＋20
＋8＝2，解得m＝2.
F3 平面向量的数量积及应用
→＝(1，－3)， 12．F2、F3[2014·湖北卷] 若向量OA
→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________． |OA
→＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所12．25 [解析] 由题意知，OB以AB＝OB－OA＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以|AB|＝22＋42＝2 5.
12．F2、F3[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值中，已知AB＝8，AD＝5，CP是________．
图1-3
12．22 [解析] 因为CP＝3PD，AP·BP＝2，所以AP＝AD＋DP13
＝AD＋4AB，BP＝BC＋CP＝AD－4AB，所以AP·BP＝3??→1??13
?AD＋AB?·?AD－AB?＝AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AB＝8，
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