31
AD＝5，所以2＝25－16×64－2AB·AD，故AB·AD＝22 .
6．F3[2014·全国卷] 已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．B [解析] 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.
4．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
4．A [解析] 由已知得|a＋b|＝10，|a－b|2＝b，两式相减，得a·b＝1.
12．F3[2014·重庆卷] 已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．
12．10 [解析] ∵|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210，
1
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝210×10×2＝10.
7．F2，F3[2014·山东卷] 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)，若π
向量a，b的夹角为6，则实数m＝( )
A．23 B.3 C．0 D．－3
π3＋3ma·b3
7．B [解析] 由题意得cos 6＝＝，即2＝|a||b|29＋m23＋3m
2，解得m＝3. 29＋m
13．F3[2014·天津卷] 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝
→·→120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AEAF＝1，则λ的值为________．
13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－3)，
→＝3BE→，得(1，3)C(1，0)，D(0，3)．设E(x，y)，F(x，y)，由BC
1
1
2
2
?123?→＝λDF→，?；＝3(x1，y1＋3)，可得E?，－由DC得(1，－3)＝λ(x2，
33??
?13?
y2－3)，可得F?，3－λ?.
?λ??43?10223??1
?·?＋1，3－?＝∵AE·AF＝?，－λ?3λ－3＝1，∴λ＝3??λ?3
2.
F4 单元综合
9．F4[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定 C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定
9．B [解析] |b＋ta|≥1，则a2t2＋2|a||b|tcos θ＋b2的最小值为1，
4a2b2－4（|a||b|cos θ）2
这是关于t的二次函数，故最小值为＝1，得
4a2到4a2b2sin2θ＝4a2，故|b|sin θ＝1.若|b|确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b|唯一确定．故选B.
10．F4[2014·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( )
2πππ
A.3 B.3 C.6 D．0
10．B [解析] 令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2a2＋2b2，S2＝a2＋b2＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a＋2b－4a·b＝2(a－b)>0，S1－S2＝a2
2
2
2
＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3 以cos θ＝2.又θ∈[0，π]，所以θ＝3. 10．F4[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1， →|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的取0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD 值范围是( ) A．[4，6] B．[19－1，19＋1] C．[23，27] D．[7－1，7＋1] →|＝1，得动点D在以点C为圆心，半径为10．D [解析] 由|CD1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)， →＋OB→＋OD→＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA→＋OB→＋所以OA →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋OD 27sin(α＋φ)， →＋OB→＋OD→|2∈[8－27，8＋27]，即|OA→＋OB→＋OD→|∈所以|OA [7－1，7＋1]． 1．[2014·山西大同一中四诊] 如图X19-1所示，正六边形→＋CD→＋EF→＝( ) ABCDEF中，BA → A．0 B.BE→ D.CF→ C.AD 图X19-1 →＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CF→. 1．D [解析] 由图知BA 13．[2014·长沙一中月考] 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，若a＝mb＋nc，则n－m＝____________． 1 13.3 [解析] ∵a＝mb＋nc?(3，2)＝(－m，2m)＋(4n，n)＝(－m 5?m＝，??92m＋n＝2，? ＋4n，2m＋n)，∴?∴? 8??－m＋4n＝3，??n＝9， 1 ∴n－m＝3. 14．[2014·湖南师大附中月考] 如图X19-2所示，在等腰直角三→＝4AC→，则OC→·(OB→－OA→)＝角形AOB中，OA＝OB＝1，AB____________． 图X19-2 12→→→·→－OA→)14．－2 [解析] 由已知得|AB|＝2，|AC|＝4，则OC(OB 3π21→→→→→→→＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝2cos4＋4×2＝－2. 15．[2014·温州十校联合体期末] 在△ABC中，∠ACB为钝角，→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|CA→－mCB→|AC＝BC＝1，CO 3→|的最小值为____________． 的最小值为2，则|CO 1→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1，可知A，O，B三15.2 [解析] 由CO →|的最小值为AB边上的高．又AC＝BC＝1，即O为点共线，所以|CO →－mCB→|的最小值为3，即点A到BCAB的中点，且函数f(m)＝|CA23→|的最小值为错误!. 边的距离为2，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO 6．[2014·漳州五校期末] 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|等于( ) A．1 B.3 C.5 D．3 6．C [解析] 由已知得|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉．又|a|＝1，|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5. ??π?π? 1．[2014·常德期末] 已知向量a＝cos?2x－?，cos?＋x?，b＝1， 3???4??π? －2sin?＋x?，f(x)＝a·b. 4?? (1)求f(x)的最小正周期； (2)若A为等腰三角形ABC的一个底角，求f(A)的取值范围． πππ1．解：(1)∵f(x)＝a·b＝cos2x－3－2sin4＋xcos4＋x＝cos2x－πππππ cos 3＋sin 2x·sin 3－3－sin2＋2x＝cos2x－3－cos 2x＝cos 2x·π31 cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝sin2x－6， 2π ∴f(x)的最小正周期T＝2＝π. (2)∵A为等腰三角形ABC的一个底角， π ∴0 ππ5π ∴0<2A<π，∴－6<2A－6<6， π11 ∴－2