北 京 交 通 大 学
2008---2009学年第二学期《概率论与数理统计》期末考试试卷(A)
学院_____________ 专业________ 班级____________
学号_______________ 姓名____________
注意:本试卷共有十三道题,如有不对,请与监考教师调换!
题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 总分 一.（满分6分）已知P?A??12，P?B??，在下列情况下，分别求概率P?AB?和P?A?B?。 45（1）A与B互斥；（2）A与B独立。 解：（1）PAB=P?B????2 53 ----3分 4P?A?B??P(A)?1?P(A)?（2）PAB=PAP?B??????3 1017 ----3分 20P?A?B??P(A)?P(B)?P(AB)?
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二. （满分8分）某人衣袋中有两枚硬币,一枚是均匀的，另一枚两面都是正面。 (1)他随机取出一枚抛出，结果出现正面，求该枚硬币是均匀的概率;
(2)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，求该枚硬币是均匀的概率。
解:设B={取出的硬币是均匀的}，Ai={第i次抛出的结果是正面}，i=1，2 ----2分
则有：
（1）P(BAP(B)P?A1B?0.51)?P(B)P?A1B??P(B)P?A1B??0.5?0.5?0.5+0.5?1?13 ----3分
（2）P(BAP(B)P?A1A2B??0.2511A2)?P(B)P?A1A2B??P(B)P?A1A2B??0.50.5?0.25+0.5?1?5
2
----3分
三. （满分8分） 设二维随机变量(X,Y)具有分布律：
X Y 1 2 3 ?1 0 511 1212121 1 24? 12(1)求常数?；（2）求两个边缘分布律；（3）说明X与Y是否独立; (4)求3X?4Y的分布律；（5）求P(X?Y?1)。 解：（1）1???pij?ij717。 ----2分 ??，??2424
(2) X ?1 0 75 P 1212 Y 1 P 112 3 2491 246----2分
(3) X与Y不独立。 ----1分 (4) 3X+4Y 1 4 5 8 9 12 P 511711 122412241212----1分
(5) X+Y 0 P 51 2 3 12 131 8812----1分
3111P(X?Y?1)??? - ---1分
81224
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四(满分8分) 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
?1,fX?x????0,?e?yf(x,y)?fX(x)fY?y????00?x?1，?e?y,fY?y???其他，?0,0?x?1,y?0其它y?0,其他.
求Z?2X?Y的分布函数和概率密度。
解：
----2分
由分布函数的定义有FZ?z??P?Z?z??P?2X?Y?z??2x?y?z??f?x,y?dxdy
----2分
当z?0，FZ?z??0; ----1分
当0?z?2，
FZ?z???dx?
z20z?2x0e?ydy?111z?e?z? ----1分 2221e?ydy?1?(e2?1)e?z ----1分
2当z?2，FZ?z??
?10dx?z?2x0??0z?0??1fZ?z???(1?e?z)0?z?2?2?1?z?2?z(e?e)z?2??2----1分
4
五(满分8分) 设二维随机变量?X，Y?的概率密度为
?f?x，y???1?y2?x2?1
???0其它 试验证X与Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。
解：（1）
???y2EX???????xf(x,y)dxdy?x2???x11y2?1?dxdy???1?x?1?y2?dxdy?0
??EY?yf(x,y)dxdy?0
????????1?y2EXY???????xyf(x,y)dxdy?x2???xy1y2?1?dxdy???1?xy0?1?y2?dxdy?EXY?EXEY X与Y是不相关的。
X的边缘概率密度为
??1?x2fX?x??f?x,y?dy=???1dy=21?x2,?1?x<1, ?????1?x2?? ?0, 其它Y的边缘概率密度为
??2fY?y??f?x,y?dx=???1?y2,?1?y<1,
?????0, 其它易见f?x,y??fX?x?? fY?y?，所以X, Y不独立。
5
???3分
???1分
???2分 ???2分