六（满分8分）设随机变量Z?11X?Y,其中X?N(1,32)，Y?N(0,42), 32?XY?? 求(1) 求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)?XZ.
解：E(Z)?14111EX?EY? ----2分 323
D(Z)?19DX?14DY?2Cov(13X,12Y)?19?9?14?16?2?11?1?3?2????4???3?4 ?4
Cov(X,Z)?113DX?2Cov(X,Y)?3?1 2???1?3??4???3?4?2
?X,Z)XZ?Cov(DXDZ?14 ----2分 ----2分
----2分
6
七．（满分8分）设某商品每周的需求量X?U?10,30?，而经销商店进货量为区间[10，30]中的某个整数，商店每销售一单位商品可获利500元。若供大于求则削价处理，每处理一个单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。 解：设进货量a。相应利润H(a).
500a?300(X?a),a?X?30? ----2分 H?a???500X?100(a?X),10?X?a?
?1?,x??10,30? ----2分 fX?x???20?其他?0,
3011dx??(300x+200a)dx10a2020 ----2分
=?7.5a2?350a?5250?9280,E[H?a?]???600x?100a?a
7.5a2?350a?4030?0,
220?a?26 3最少进货量为21单位。 ----2分
7
八．（满分7分）设X1,X2,?，X16为总体X?N(0,4)的样本。 （1）求a使得P(X?a)?0.05；
（2）求b使得P(X?bS)?0.75。（其中的X,S分别是样本均值和样本标准差）
（已知??1.645??0.95,t0.25(15)?0.6912,t0.25(16)?0.6901）
解：（1）X?N(0,4)，2X?N(0,1)，P(X?a)?0.05=1?P(X?a)?1?P(2X?2a) 160.95?P(2X?2a)???2a?，2a?1.645，a?0.8225。-----4分
（2）
4X4X?t(15)，P(X?bS)?0.75=P(?4b)，4b?0.6912,b?0.1728-----3分 SS
8
九(满分8分) 有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的。规定选择正确得1分，选择错误得0分。假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过35分的概率。 （已知???4???0.9896，其中??x?是正态分布N?0，1?的分布函数) ?3?解：设X={100道题中答对的题数}，则X~B（100，14）
由中心极限定理，有
P(X?35)?1?P(X?35)?1?P(X?2575/4?35?2575/4) ?1??(43)?1??(2.3094)?0.0104
9
----2分 ---4分 ----2分
十(满分8分) 设某种元件的使用寿命X的密度函数为
?2e?2(x??),x??, f?x,????x??.?0,其中??0为未知参数。又设x1,x2,?xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值。
解： 似然函数为
L???=?i?1nn??2?(xi??)?n，xi??(i?1,2,?,n)??2ei?1?0,其他?
?n?2(x??)??2ei,xi??(i?1,2,?,n)f(xi,?)??1?0,其他?
----3分
xi??(i?1,2,?,n)
两边取对数
?n?2?(xi??)?n??nln2?2?(xi??)lnL???=ln?2ei?1??i?1 ???nln2?2n??2?xii?1nn----3分
dlnL????2n?0，L(?)是?的单调增加函数，由于必须满足??xi,i?1,2,?,n d???min(x,x,?x) 于是最大似然估计值为?12n----2分
10