十一.（满分8分）用切比雪夫不等式估计：当掷一枚均匀硬币时，需掷多少次，才能保证 使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于90%。 解：设需掷n次，用Xn表示正面出现的次数，Xn?B(n,0.5)
EXn?0.5nDXn?0.25n
-----4分 切比雪夫不等式
?X?D?n?X?X?n???P?0.4?n?0.6??P?n?0.5?0.1??1??n0.01 ???n?0.25n25?1??1??0.900.01n2n-----3分
n?250
-----1分
11
十二（满分10分）.设X1,X2,?Xn为取自总体X?U?0,1?的样本，令：X?1?=min(X1,X2,?Xn),
X?n?=max(X1,X2,?Xn),求 E[X?1?]+E[X?n?]。
解：因为X1,X2,?Xn独立同分布，故X?n?=max(X1,X2,?Xn),的分布函数为
F?x??PX?n??x?P?X1?x,X2?x,?Xn?x???FXi?x?i?1??nx<0?0,???xn,0?x<1?1,x?1?
?nxn?1,0 其他?0, X?1?=min(X1,X2,?Xn),的分布函数为 G?x??PX?1??x?1?P?X1?x,X2?x,?Xn?x??1??[1?FXi?x?]i?1??n0,x<0??n??1??1?x?,0?x<1?1,x?1? n?1??n?1?x?,0 其他??0, E[X?n?]??E[X?1?]????????xf?x?dx??nxndx=0101n n+1n?1??xg?x?dx??nx?1?x?dx=1 n+1E[X?1?]+E[X?n?]?1 ----2分 12 十三. （满分5分）设总体X?N(?,?2)，X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，S是样本方差，求（1）E(X2?S2)（2）D(X?S2) 22解：（1）E(X2?S2)=E(X2)+E(S2)=DX?(EX)+E(S2)=??2??n?12? n(2)由于X和S2相互独立，D(X?S2)?D(X)?D?S2??22?4?n?n?1 （因为 (n?1)S22?2???n?1?D(?n?1?S2?2)?2(n?1)） 13 -----3分 -----2分