2018年皖北协作区高三联考数学试卷（淮北市实验高级中学）
命题 ： 淮北市实验高级中学高三数学组
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1、 函数y?sin A
x的最小正周期是（ ） 2? B ? C 2? D 4? 22、已知正方体ABCD—A1 B1 C1 D1，直线B C1与平面A1BD所成的角的余弦值是（ ） A
2322 B C D
33242?bi(b?R)的实部和虚部互为相反数，则b=（ ） 1?i3、（理科）如果复数
A 0 B 1 C 2 D 3 (文科)曲线C：y?13x?x2?1在x=1处的切线的倾斜角是（ ） 3???3?A B ? C D
44434、已知数列｛an｝的首项a1=1,且满足an = ?1an?1（n?2, n?N*）,则a2018 = ( )
A 2018 B -1 C 0 D 1
5、已知f(x)=|log2x|, 若f(a)>f(2.5),则a的取值范围是 ( )
255 A (0,) ∪ (1, ) B ( ,+∞)
5222525 C (0, )∪( ,+∞) D (,)
52526、函数y＝f（x－1）的图象如右图所示，它在R上单调递减， 现有如下
?1??1?结论：①f（0）>1 ②f???1 ③f?1?1??0 ④f?1???0，其中正确结论的
?2??2?个数是（ ）
A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个
7、将6名同学分配到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少安排一名学生，且不能安
排三名以上的学生，则不同的安排方式共有（ ）种 A 360 B 450 C 720 D 900
8、已知不等式qx2+px+m＞0的解集是{x|2 A 直线 B 抛物线 C 直线的一部分 D 抛物线的一部分 9、已知平面内动点P到定点（1，1）的距离等于到定直线x+y=2的距离，则动点P的轨 迹是（ ） A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 直线 10、已知△ABC中，AP??(的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 11、 已知f?x?=x+lg(x2?1?x),若fm3x?f?9x?3x?2?0恒成立，则m的取值范围是( ) A m?22?1 B m?2 C m?22?1 D m?22 12、 为了响应国家退耕还林，保护环境的政策，我市非常重视植树造林工作，几年来绿色植被面积呈上升趋势.经调查，从1996年到2018年这10年间每两年上升2%，2018年和2018年共种植植被815万m2，当地主管部门决定今后四年内仍按这个比例发展下去，则从 2018年到2018年种植的绿色植被为（四舍五入）( ) A. 848万m2 B. 1173万m2 C. 1679万m2 D. 12495万m2 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答卷中的横线上. 13、二项式(9x?13x9AB|AB|cosB?AC|AC|cosC)，???0,???则动点的轨迹定过△ABC ????)展开式中常数项为_____________________ 14、(理科)现有4瓶饮料,其中2瓶盖中有奖. 从中任意取出一瓶打开,若没有中奖,则再开一瓶. 记中奖之前打开的瓶数为?,则E?等于____________ （文科）老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学被抽到的概率是__________________ 15、 三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直. OC=1,OA=x,OB=y,x+y=4,当三棱锥的体积最大时，异面直线AB和OC的距离等于_____________________________. x2y216、 过双曲线2?2?1的右焦点F（c，0）的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P ab2a2x2y2?点，则有的定值为2.类比双曲线这一结论，在椭圆2?2?1（a＞b＞0） babMFNFPMPN 中，PMMF?PNNF是定值 ___. 三．解答题：本大题共6小题，74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）如图：在某大学的信息通信局域网中，共有2n个节点，任何一个节点到相邻节点的通信时间为1个单位时间，通信成功的概率为p. 求(1)在2个单位时间内，由A2到B2通信成功的概率； (2) 在2个单位时间内，由A2到B3通信成功的概率. A1 A2 An B1 B2 Bn 18．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)对任意x?R，都有f(1?x)?f(1?x)成立，设向量a?（sinx，2），b?（2sinx， 1），c?（cos2x，1），d?（1，2），当x?[0，π]时，2求不等式f（a?b）＞f（c?d）的解集 19. （本小题满分12分）已知ABCD是边长为2的菱形，?BAD=60○,PA=PD,面PAD?面ABCD，二面角P-BC-D为45○ (1)求AB与AP的夹角(2)求A到平面PBC的距离(3)求二 面角A-PB-C的大小 20. （本小题满分12分）已知数列{an}的首项a1=5，Sn是其前n项和，且Sn满足Sn=2Sn-1+n+4 2 （n?2, n?N*）.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令f(x)=a1x+a2x+…+anxn,求函数f(x)在x=1处的导数f `(1); (3) 比较2f ` (1)与23n3-13n的大小. 21. （本小题满分12分）设函数f(x)=ax+3a(a>0,a?1)的反函数为y=f -1(x),已知函数y=g(x)的图像与函数f(x)的图像关于点(a,0)对称.(1)求函数y=g(x)的解析式.(2)是否存在实数a,使当x?[a+2,a+3]时恒有|f-1(x)-g(x)|?1成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分14分）设x,y?R,向量a? (x+3,y), b?(x-3,y),且|a|+|b|=4. (1)求点M(x,y)的轨迹C的方程；(2)过点P(0,2)作直线l交曲线C于A、B两点（A在P、B ??3??之间）设PA??PB，直线l的倾斜角为?，当???,?时，求实数?的取值范围. ?44?2018年皖北协作区高三联考数学参考答案 一、选择题（每题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 C 7 B 8 C 9 D 10 D 11 C 12 C B 理A文D B C C 二、填空题（每题4分，共16分） 212a213、 84 14、（理） （文） 15、3 16、?2. 53b三、解答题（17—21题，每题12分，22题14分，共74分） 17、(1) p+(1-p)p ----------6分 (2) 1-(1-p2)2 ----------6分 18、解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，y1）、B（1＋x，y2）因为 (1?x)?(1?x)?1，f(1?x)?f(1?x)，所以y1?y2，由x的任意性得f（x）的图象关于直 2线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数． ………………………………12` 1 ∵ a?b?(sinx，2)?(2sinx，)?2sin2x?1?1，c?d?(cos2x，1)?(1，2) 2?cos2x?2?1， ∴当m?0时，f(a?b)?f(c?d)?f(2sin2x?1)?f(cos2x?1) ?2sin2x?1?cos2x?2?1?cos2x?1?cos2x?2?2cos2x?0 ?cos2x?0 π3π?2x?2kπ?，k?Z． 22π3π?x?∵ 0?x?π， ∴ ． 44?2kπ?………………………………12` 19解:如图,建立平面直角坐标系 (1) A(0,?1,0) B(3,0,0) C(3,2,0) D(0,1,0)P(0,0,3) AB?(3,1,0) DP?(0,?1,3) cos?AB,DP??AB?DPAB?DP??11?? 2?24??AB,DP????arccos1 …………………………..4’ 4(2) 设面PBC的法向量为 n1?(x,y,1) BC?(0,2,0) PB?(3,0,?3) AB?(3,1,0) ?2y?0?x?1 ?? n1?(1,0,1) AB?n1?3 ???3x?3?0?y?0 点A到面PBC的距离 d?AB?n1n1?32?6 ………………………………8` 2(3) 设面PAB的法向量为 n2?(x,y,1) ?n2?PBn2?AB ?3x?3?0?x?1?? ?? n2?(1,?3,1) y??3??3x?y?0cos?n1,n2??n1?n2n1?n2?22?5?10 510. ………………………………12` 5∴二面角A-PB-C的大小是??arccos20．解：(1)由已知 Sn=2Sn-1+n+4 (n > 2) 易得 Sn+1=2Sn+n+5 两式相减，得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1 即 an+1+1=2an+1 从而 an+1+1=2(an+1) 当n=1时,S2=2S1+1+5 所以a1+a2=2a1+6 又a1=5 ∴ a2=11 从而a2+1=2(a1+1) 故总有an+1+1=2(an+1) n∈N* a?1∵a1=5 ∴ an+1≠0,从而n?1?2,即{ an+1}是以a1+1=6为首项，2为公比 an?1的等比数列 ∴an=3×2n-1， ………………………………5` (2) ∵f(x)=a1x+a2x2+……+anxn, ∴f ’ (x)=a1+2a2x+……+nanxn-1, ∴f ’ (1)=a1+2a2+……+nan =(3×2-1)+2(3×22-1)+ ……+n(3×2n-1) =3(2+2×22+……+n×2n)-(1+2+……+n) n(n?1)n(n?1) =3[n×2n+1-2n+1+2]-= 3(n-1)×2n+1-+6 22n2’2 由上得 2f (1)-(23n-13n)=12(n-1)2-12(2n-n-1) =12(n-1)[2n-(2n+1)] (*) ∴n=1时，(*)式=0 ∴2f ’ (1)=(23n2-13n) n=2时，(*)式=-12<0 ∴2f ’ (1)<(23n2-13n) 02n?1nn≥3时，n-1>0,2n=(1+1)n=cn?c1?cn?2n?2>2n+1 n?cn??cn∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0 ∴(*)式>0 ∴2f ’ (1)>(23n2-13n)(也可用数学归纳法) ………………………………12` 21、解: (1) 由 f(x)=ax+3a 易得 f-1(x)=loga(x-3a) 由题设的点对称可得 g(a+x)+f-1(a-x)=0 则g(x)=-loga(-x-a) (x<-a)…….4’ (2) 假设存在适合题意的实数a, 则 |f-1(x)-g(-x)|=|loga(x-3a)+loga(x-a)|=|loga(x2-4ax+3a2)| <1 即 –1< loga(x2-4ax+3a2) < 1 (x>3a) (*) 又?x??a?2,a?3? ?a?2?3a?0?a?1,a?2?2a ? 函数h(x)= x2-4ax+3a 在[a+2,a+3] 上为增函数, ? 函数H(x)= loga(x2-4ax+3a2) 在[a+2,a+3]上为增函数. ?从而 H(x)max=H(a+2)= loga(4-4a) H(x)min=H(a+3)= loga(9-6a) 于是(*)式恒成立等价于 0?a?1?9?57? ?loga(9?6a)??1 解得 0?a?12?log(4?4a)?1a?综上可知,存在实数a?(0,9?57], 可使得当x?[a+2,a+3]时 12恒有|f-1(x)-g(x)|?1成立. ……………………….12’ 22．[解析]（1）由已知得：(x?3)2?y2+(x?3)2?y2=4 设F1(-3,0), F2(3,0),则有|MF1|+|MF2|=4,又|F1F2|=23,∴轨迹C是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭 x2?y2?1………………………6` 圆，∴a=2,c=3,b=1.曲线C的方程为42 (2)若???2则PA?11?3??PB，???，若???，且??则k2=tan2??1① 33442x22223?y2?1，整理得：设l:y=kx+2,代入（1+4k2）x2+16kx+12=0②??（16k）-48(1+4k)>0,得k>， 4416k12③,x④…………….9` 1x2= 1?4k21?4k216k,由PA??PB，得，（x1,y1-2）=?(x2,y2-2),?x1=?x2,代入③④得：（?+1）x2=?, 21?4k注意到①, 得k 2 ?1,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=?121216k256k2?x=?，∵>0, x = ???2=?22221?4k21?4k(1??)(1?4k2)(1??)(1?4k)22 ? ?(??1)2?313?15,………………………………12` (2?4),∵1?k2, ??264k16(??1)64135???或???3 3531313∵A在P,B之间, ????，综上所述，?的取值范围是[,]………………………14` 3535 解得：