19．（本小题共14分）
已知函数（Ⅰ）当
时，求函数
． 的单调区间；
成立，求的取值范围；
，
，求证：
．
（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数（Ⅲ）若函数
有两个不同的极值点
20．（本小题共13分）
已知数列，每个
（Ⅰ）写出满足（Ⅱ）写出一个满足（Ⅲ）在H数列
证：
参考答案及评分标准
或
中，记． 都有的所有H数列
是正整数1，2，3，或3，则称；
的
数列
的通项公式；
是公差为d的等差数列，求
为H数列．
，n的一个全排列．若对
．若数列
高三数学（理科）
一、选择题： （1） 题号 A 二、填空题： 题号 （9） 答案 答案 （2） B （10） （3） B （4） C （5） A （6） C （13） （7） D （8） B （14） （11） （12） 三、解答题：
15．（本小题共13 分） 解：（Ⅰ）在
中，因为
，所以
．由正弦定理得：
，即．
（Ⅱ）在
整理得
过点因为在直角即梯形
作
中，由余弦定理得：
，解得
于，中，的高为
． ，则
为梯形，所以
，
（舍负）．
的高． ． ．
16．（本小题共13 分） 解：（Ⅰ）由题意可得： 题 答卷数 抽出的答卷数 A 180 B 300 C 230 3 5 2 应分别从题的答卷中抽出份，份． （Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，
可知只能
题答案为优，依题意
．
题的答案中得优的份数
的可能
（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的
取值为
，且
．
；；
；；
；
随机变量 的分布列为： ．
所以
17．（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）由已知得．
因为平面且平面
， 平面平面
， ，
．
．
所以平面， 由于平面，所以
（Ⅱ）由（1）知平面
所以，． 由已知， 所以两两垂直．
以
为原点建立空间直角坐标系（如图）．
因为则所以设平面
，
，
， ，
，， ．
，
的一个法向量
所以，即．
令设直线因为
，则与平面
．
所成角为， ，
所以．
所以直线（Ⅲ）在
和平面所成角的正弦值为
中， ，
．
为原点的空间直角坐标系
，
，， ． ，则
，
，．
设即
， ． ．
若即
平面
．
，则
．解得
则
18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）椭圆
的方程可化为
，
．
．
，则，
，．
，．
故离心率为（Ⅱ）由题意，直线
则
，焦点坐标为
的斜率存在，可设直线，
．
的方程为，，，
由得．
判别式
．
所以因为直线所以所以化简得所以化简得当
时，直线
与直线
，
的斜率之积为，
， ，
．
， ，
，即方程为
或
． ，过定点
． ，过定点
，不符合题意． ．
代入判别式大于零中，解得
当故直线
时，直线过定点
的方程为．
19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）当
由当当当所以
时，
，解得时，时，时，的单调增区间为
．
在
，设
在
上为增函数．
上不为单调函数的，则
，
的取值范．
，
，，，，
． 单调递增； 单调递减； 单调递增．
， ．
单调减区间为
（Ⅱ）依题意即求使函数
围．因为
当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，