第10讲 二次函数及其图象和性质（二） 适用学科 适用区域 知识点 初中数学 全国 适用年级 初中三年级 课时时长（分钟） 120分钟 1.二次函数一般式中a，b，c和图像之间的关系 2.二次函数解析式的确定 3.二次函数求最值 教学目标 1.了解各系数分别与二次函数图像的关系 2.会用“待定系数法”确定二次函数的解析式 3.掌握y?a?x?h??k2的图像和性质，能够利用配方法的求顶点式和最值 4.通过对比探究锻炼孩子的总结归纳能力,提升学习方法,不断的找到学习函数的规律和技巧 教学重点 1.各系数之间的多次利用 2.会用“待定系数法”确定二次函数的解析式 教学难点 1.多种图像的混合判断 2.根据题意进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式 教学过程
一、复习预习
2上节课我们学习了二次函数y?ax?bx?c的定义及性质，我们先一块来复习一下：
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??2a2a2a4ac?b2时，y有最小值．
4a?b4ac?b2?b 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，当?．
2a4a2a??x??bbb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y2a2a2a4ac?b2有最大值.
4a 接下来我们继续学习二次函数的其他知识点.
二、知识讲解
1.二次函数一般式中a，b，c和图像之间的关系:
a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0。 b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x??b.(左同右异) 2a 判断符号：b与a同号，说明?b?0，则顶点在y轴的左边； 2ab?0，则顶点在y轴的右边； 2ay
轴
上
，
则
b
=
0.
b与a异号，说明? 若顶点在
c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0.
2.二次函数解析式的形式
22y?ax?bx?c(a?0)y?a(x?h)?k(a?0) 一般式： 顶点式：
2 两点式：y?a(x?a)(x?b) 顶点在原点：y?ax(a?0)
22y?ax?bx(a?0)y?ax?c(a?0) 过原点： 顶点在y轴：
3. 求二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）的最值的方法
（1） 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成y?a(x?h)2?k的形式
① 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且y最小值?k ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y最大值?k
b4ac?b2,（2） 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 2a4a4ac-b2b① 若a＞0，当x=?时，函数有最小值，且y最小值?
4a2a② 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且y最大值4ac?b2 ?4a （3） 判别式法：结合抛物线的性质，利用一元二次方程的判别式和不等式的性质求最值。 考点/易错点1
二次项系数ａ和常数项ｃ比较容易掌握，特别强调注意一次项系数ｂ的符号的确定. 考点/易错点2
二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
22b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x???，其中h??，. k?2a?4a2a4a?2考点/易错点3
待定系数法: 先设出二次函数的表达式，其中自变量的系数和常数项用表示常数的字母代替，然后根据题目中的已知条件求出字母常数的值，则求出二次函数的表达式. 考点/易错点4
在求二次函数表达式时，要根据题目中不同的已知条件，灵活的选用不同函数表达式以
有效地减小运算量，但注意所求函数的最后形式必须是一般式。不会把非负因式移到根号里面.
考点/易错点5
二次函数的准确配方,提系数（二次项系数≠1时，），务漏除（一次项也要除以此系数），加平方（在括号中加b2），出结果（括号外面加或减ab2）.
三、例题精析
【例题1】
【题干】如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x=1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤3 【答案】C
【解析】这道题是根据二次函数的对称性，与x轴的两个交点是关于对称轴对称的，而一个交点是（3,0）对称轴是x=1，则另一个与x轴交点是（-1,0）。要想y≤0，就是图像在x轴下方的部分，即﹣1≤x≤3. 【例题2】
B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥3 ?c?M?b,?2【题干】二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像如图，则点?a?在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 y
O x
【答案】D
【解析】∵开口向下，∴a < 0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c > 0 ∵顶点在y轴的右边，∴b与a异号，即b > 0； ∴【例题3】
【题干】二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）
2c< 0；∴点M在第四象限选D a A．ab < 0 B．bc < 0
y O x C．a + b + c > 0 【答案】D
D．a - b + c < 0
【解析】∵开口向下，∴a < 0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c < 0 ∵顶点在y轴的左边，∴b与a同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A、B均错
∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D 【例题4】
【题干】已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论： ①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b2-2ac>5a2其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D
【解析】特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a代入4a+2b+c>0中得．
a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确． ∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．