∵a-b+c=0，∴a+c=b，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c2-4a2>0，c2>4a2，∵b=a+c，
∴b2=c2+a2+2ac，c2=b2-a2-2ac，b2-a2-2ac>4a2，b2-2ac>5a2， ④正确． 【例题5】
【题干】一条抛物线的开口方向、对称轴与y?点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
【答案】解:由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作y?ax?2(a?0)， 又抛物线经过点（1，1），
2 所以，1?a?1?2， 解得a?3．
12x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过22 故所求函数关系式为y?3x?2
【解析】考查抛物线的性质以及求顶点坐标、对称轴的方法． 【例题6】
【题干】把 y=x+3x-4, y＝－x＋x＋1 配成顶点式，观察最值.
2
2
29112 y??(x?x?)?1? 4443225125 y?(x?)? y??(x?)?
2424【答案】解y?(x?3x?)?4?294【解析】考察配方法 【例题7】 【题干】把y=?12
x+3x-2配成顶点式 2【答案】 第一步：提取二次项系数,注意常数项不提取 y??12(x?6x)?2 2 第二步：将含x项配方，注意加的常数项要乘以系数拿出来
129(x?6x?9)??2 22152 第三步整理 y??(x?3)?
22 y??
【解析】提系数（二次项系数≠1时，），务漏除（一次项也要除以此系数），加平方（在括号中加b2），出结果（括号外面加或减ab2）。 【例题8】
【题干】抛物线y?ax?2x?c的顶点是(,?1)，则a、c的值是多少？
213【答案】
b121由题：-?,即??得a??32a32a34ac?b2-12c?4 ??1，即??14a?124解得：c??3【解析】y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到
2b?4ac?b2b4ac?b2?前者，即y?a?x???，其中h??， k?2a?4a2a4a?2【例题9】
【题干】已知一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ） A．B． C． D． 【答案】C
【解析】A中：二次函数a?0,b?0,c?0，一次函数a?0,c?0不成立； B中：二次函数a?0,b?0,c?0，一次函数a?0,c?0不成立； C中：二次函数a?0,b?0,c?0，一次函数a?0,c?0成立故选C 【例题10】
【题干】已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2-8 C．y=
2（x-1）2+8 D．y=2（x-1）2-8 9
【答案】D
【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标． 【例题11】
【题干】已知二次函数的图象经（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是_____________． 【答案】y=-x2+3x．
【解析】设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a≠0），
把（0，0），（1，2），（-1，-4） 代入得： c＝0 a+b+c＝2 a?b+c＝?4 ， 解之得 a＝?1 b＝3 c＝0 ,所以该函数的解析式为：y=-x2+3x． 【例题12】
【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k 由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1）， 与x轴的交点坐标是（0，0）和（2，0）
把顶点坐标（1，-1），代入解析式得：y=a（x-1）2-1， 把坐标（0，0）代入解析式得：a（0-1）2-1=0 解之得：a=1
∴二次函数的解析式为y=x2-2x．
【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标是（1，-1），设抛物线解析式的顶点式y=a（x-1）2-1，再将点（0，0）代入求a即可． 【例题13】
【题干】二次函数y??x?1??2有最____值是_____
2【答案】小，2． 【解析】∵a=1＞0，
∴当x=-1时，二次函数y??x?1??2的有最小值是2．根据二次函数的最值问题
2求解即可． 【例题14】
【题干】已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
A.有最小值﹣5、最大值0 B.有最小值﹣3、最大值6
C.有最小值0、最大值6 D.有最小值2、最大值6 【答案】B
【解析】由二次函数的图象可知， ∵﹣5≤x≤0，∴当x=﹣2时函数有最大值，y最大=6；当x=﹣5时函数值最小，y最小=﹣3。故选B。
四、课堂运用 【基础】
1.二次函数y?ax与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象为（ ） A．B． C． D． 2
【答案】C
【解析】讨论a的符号
2.已知二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像如图，则a、b、c满足（ ） A．a < 0，b < 0，c > 0 ；B．a < 0，b < 0，c < 0 ； C．a < 0，b > 0，c > 0 ；D．a > 0，b < 0，c > 0 ； 【答案】 A
【解析】 ∵开口向下，∴a < 0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c > 0∵顶点在y轴的左边，∴b与a同号，即b < 0； ∴选A
3. 已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，则下列结论正确的个数是（ ） ①b=2a ②a-b+c＞-1 ③0＜b2-4ac＜4 ④ac+1=b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B
【解析】①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的
正
半
轴
上
，
O x y ∴c＞0，对称轴为x=?②∵对称轴为x=?b=-1，得2a=b，∴a、b同号，即b＜0，∴abc＞0；故本选项正确； 2ab=-1，得2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0，∴2a+b≠0；故本选项错误； 2a③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac； 故
本
选
项
正
确
；
?④图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=-1，能得到：a＜0，c＞0，
b=-1，∴b=2a，2a∴a-b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m+2）a，假设a-b＞m（am+b），（m≠1的实数）即-a＞m（m+2）a，所以（m+1）2＞0，满足题意，所以假设成立，故本选项正确； ⑤∵-3＜x1＜-2，∴根据二次函数图象的对称性，知当x=1时，y＜0；又由①知，2a=b，∴a+b+c＜
0
；
∴
12b+b+c＜0，