LUOYANG NORMAL UNIVERSITY
2015届 本科毕业论文
分块矩阵的初等变换及其应用
专 业 名 称 学 生 姓 名 学 号 指 导 教 师 完 成 时 间 院 （系） 名 称
数学与应用数学 韩佳桐 110414148 夏兴无 副教授 2015.5 数学科学学院
洛阳师范学院本科毕业论文
分块矩阵的初等变换及其应用
韩佳桐
数学科学学院 数学与应用数学专业 学号:110414148
指导教师:夏兴无
摘要：初等变换是处理矩阵的重要方法,而分块矩阵又是解决矩阵问题的有力工具,初等变换应用在分块矩阵上,可以有效地简化矩阵的运算.本文主要总结了分块矩阵在求解行列式、证明矩阵的行列式等式、矩阵的秩的等式(以及不等式)、求解矩阵的逆等方面的应用,并通过具体的例子说明了分块矩阵的重要性.
关键词：初等变换;分块矩阵;行列式;矩阵的秩;矩阵的逆
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1分块矩阵的产生与意义
分块矩阵的初等变换是线性代数中重要且基本的运算,在运算中巧妙地将高阶矩阵转化为低阶矩阵,常常能够使我们迅速地接近问题的本质,化繁为简,从而达到解决问题的目的. 1.1分块矩阵思想的产生
矩阵作为数学工具之一有着极其重要的使用价值,也常见于很多学科中,如：线性规划、统计分析等,在实际生活中,很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述和运算,矩阵的概念和性质相对于矩阵的运算较容易理解和掌握,而对于矩阵的运算和应用,则有很多的问题值得我们去研究.其中,当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明会是很繁琐的过程,因此,我们需要有一个新的矩阵处理工具来使这些问题得到更好的解释,矩阵分块的思想便由此产生. 1.2分块矩阵的意义
矩阵分块,就是将一个行列数较多的大型矩阵,分别按照横竖分割成一些小的子矩阵,然后将每一个小矩阵看作一个元素,特别是在运算中,将这些小矩阵当作数一样来处理.将矩阵分块进行运算有许多方便之处,因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是处理级数较高的矩阵时的常用方法,也是处理矩阵问题的重要技巧.分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑.特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候,通过将矩阵分块,允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵,支持向量结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法.[1]
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2分块矩阵的初等变换
2.1分块矩阵常见的三种基本变换 矩阵A??aij?mn常可用两种形式来表示
?a11a12?aa22 A??21?????am1am2?A11?A A??21????As1?a1n??a2n?? ; (1) ?????amn?A12?A1l?A22?A2l??, (2) ?????As2?Asl? aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)是A的元素,形式(2)是A的一种分块.和一般的初等变换一样,我们可以对分块矩阵A(即形式(2)的矩阵)进行以下变换: 1?交换A的第i行和第j行; 2?用可逆矩阵k乘A的第i行;
3?A的第j行乘矩阵k后加到第i行上(这时,要求mi?mj).
为了使这些分块矩阵的行变换具有一般矩阵的行初等变换的性质,我们先说明它们都可由矩阵的一般行初等变换来实现.下面,不妨设i?j,
1?当(2)的第i行和第j行所含(1)的元素的行数mi?mj时,可把(1)的第
m1?m2? ??mi?1?q行与第m1???mi???mj?1?q行分别交换(q?1,2,?,mi),
就可实现矩阵(2)的第1?种行变换.
当mi?mj时,先把(2)的第i行中所含(1)的各行分别与(2)的第j行中所含(1)的前面mi行交换,然后再将(2)的第j行中所含(1)的其余mi?mj个行逐次与位于(2)的第i行下面而位于它们上面的个mj?mi行交换,便可完成(2)的第1?种行变换.
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而对于mi?mj的情形,可用上面类似的方法处理.
2?用可逆矩阵k乘(2)的第i行.
3?矩阵(2)的第j行乘矩阵k后加到(2)的第i行上,这里(mi?mj)可由(1)的第m1???mi???mj?1?q行(q?1,2,?,mi)乘矩阵k后加到(1)的第m1???Mi?1
[2]
?q行上来完成.
综上所述,分块矩阵的这三种行变换1?、2?、3?都可由有限次一般矩阵的同类型的行初等变换来实现,它们保持矩阵行初等变换所具有的性质.我们把这三种行变换称为分块矩阵的行初等变换.类似的,分块矩阵也有三种列的初等变换保持一般矩阵列初等变换所具有的性质.
3分块矩阵初等变换的应用
利用分块矩阵的初等变换,不仅能使矩阵的一些证明和计算变得非常简洁和快捷,易于我们理解和掌握,而且能开拓思维,提高我们灵活应用知识解决问题的能力,同时,矩阵分块的思想明显简化了矩阵的乘积运算,将一些具体的证明变得生动有趣,展现了数学独特的魅力.下面,就以2?2分块矩阵为例说明分块矩阵的初等变换在求解行列式、证明矩阵的行列式等式、矩阵的秩的等式(以及不等式)、求解矩阵的逆等方面的一些应用. 3.1分块矩阵在行列式中的应用
分块矩阵是线性代数中的一个基本工具,可以借助分块矩阵的初等变换讨论其在求解行列式,以及证明行列式等式中的应用. 3.1.1分块矩阵的初等变换在求解行列式中的应用
?AB? 定理1 设M??是一个四分块m?n阶矩阵,其中A、D分别是m、n??CD?
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