洛阳师范学院本科毕业论文
?1?AD?CAB,当A可逆时;?阶方阵,则M?? ?1??DA?BDC,当D可逆时.?AB?例1 设分块矩阵M???CD??,B与C分别为m?m,n?n可逆矩阵,若C可
??逆,求M.[3] 解 因为
?AB?r1?AC?1r2?0M??????CD??????C???所以
??r2B?AC?1D?r1??C????????0?D????, ?1?B?ACD?DC0即
D?(?1)mnM, ?1B?ACDM?(?1)mnCB?AC?1D.
定理1虽给出了一种求行列式的方法,但其中涉及求逆及多次矩阵相乘,计算相当繁琐,也不容易记忆.在实际应用中,我们常用的是以下推论:
?AB?推论1 设M???是一个四分块2n阶矩阵,其中A、B、C、D均是n阶CD??方阵,则
当A可逆且AC?CA时,M?AD?CB; 当A可逆且AB?BA时,M?DA?CB; 当D可逆且DC?CD时,M?AD?BC; 当D可逆且DB?BD时,M?DA?BC.
证明 仅证以上四个结论可由类似方法得到.因为A可逆,所以A?1存在,注意到
AC?CA,
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由
E?CA?1得
0ABAB ?ECD0D?CA?1BABr2?CA?1r1AB?1??????AD?CAB ?1CD0D?CAB ?AD?ACA?1B?AD?CAA?1B
?AD?CB, 即
M?AD?CB.
21?11. ?13?例2 计算行列式Q????11?n?1解 对原行列式先进行加边,然后将加边后的行列式的第一行乘?1倍加到其余各行,得
10Q?0121113???11110102???11?11??100,
??????100?n?????011?n?1 令
??1??10?0??????102?0????A??1?,B??1,1,?,1?,C???,D??, ????????????1??00?n?????由于
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D?n!?0,D可逆,
从而由推论1可得
nAB1???1Q??DA?BDC?n!?1???.
CD?i?1i?定理 2 设A、C是两个n阶方阵,则
AC?A?CA?C. CA 证明 根据行列式的性质,对其进行第三种初等变换,由于矩阵的第三种初等变换不改变其行列式的值,有
ACA?CCr2?r1A?C?c???????1?c2CAC?AA00x0zyyz0xzy[4]
. x0xyzC?A?CA?C. A?C例3 计算行列式D?解 设
?0x?A???x0??;
???yC???z?z??. y??由定理2知
D?AC?A?CA?C CAx?z???y???y???x?z2?y ???x?z?x?z?? ??y?2?y2??x?z?y2??x?z?
??x?y?z???x?y?z??x?y?z???x?y?z?.
3.1.2分块矩阵的初等变换在证明行列式等式中的应用
????
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利用行列式计算的性质,可以推导得出分块矩阵A经过三种初等变换后,与所得分块矩阵A1、A2、A3的行列式之间满足下列关系:
?A当mn为偶数时, 4?A1?(?1)mnA?? 其中m,n为变换的两行(列)中所含
?A当mn为奇数时.?子块的行(列)数.
5A2?PA,其中矩阵P为左(右)乘某一行(列)的可逆方阵. 6A3?A,即第三种变换不改变分块矩阵的行列式.
利用这些结果,再加上拉普拉斯定理得出的一个结论行列式的证明变得非常容易.
例4 已知A、B均为n阶方阵,求证证明 因为
A0?AB,会使许多CB??AB?A?BA?B. BAABr1?r2A?BB?AA?B?????c???2?c1BABAB所以
0, A?BABA?B?BAB0?A?BA?B. A?B 例5 设A、B都是n阶矩阵,证明:AB?AB.[5]
证明 因为
?A???I?0?r1?A?r2?0?????????IB??AB??, ?B? 把分块矩阵的一个块行的左P倍加到另一个块行上,所得矩阵的行列式与原来矩阵的行列式值相等.[6] 所以
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A0AB?IB?0?IB,
左边?AB,
右边?AB?(?1)1???n?(n?1)???2n?I
?AB(?1)n?2n2(?1)n?AB(?1)2n(n?1)?AB,
故
AB?AB.
例6 设A、B分别是s?n、n?s矩阵,证明:Is?AB?In?BA. 证明 计算下列分块矩阵的行列式
??InB???AI?, s??一方面,有
??InB?B??I???r?2?(??A?)?r1???I?n?A0IAB?s??s??, ?于是有
??IB?B??n0??In??AI?s?????AI?????I?ns??0IAB??,
s??两边取行列式,得
IInBnIsAI?InIs?AB,
s从而
InBAI?Is?AB, (3) s另一方面,又有
??InB???AI?r1?(?B)?r2?In?BA0??s??????????AIs?, ?
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