【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。
∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。 ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。
（2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。
∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴ ∴CE=2AE，BD=2FE。∴AC=3AE，BF=3FE。 ∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2， 即?3AE?=x2+42， ?3FE?=22+x2。 两式相加，得9AE2+FE2=2x2+20。
又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，AE2+FE2=AB2=x2。 ∴9x2=2x2+20，解得x=22AEFEAF21????。 CEBDCB42??2。 35（已舍去负值）71?201?20?48132528?132， FE2=??4+?=，CE2=4AE2=4?= ∴AE2=??+16?=。
9?76397636363??? ∴在Rt△CEF中由勾股定理得CF2=FE2+CE2=248528576。 +?63636348132CF ∴?sin?ECF?=2=63=。∴sin?ECF=。
576126EF48【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
（2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得AC=3AE，BF=3FE。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，
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根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。
2. （2018山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2） 反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
（2）证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。
∵O是AB的中点，∴OA=OB。
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。
∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，
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∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。
（3）解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线。 ∵∠ACB=90°，∴OC=又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°。∴∠2=∠B。 ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B。∴DN=NB。 ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°。∴四边形DMCN是矩形。∴DN=MC。∴MC=NB。 ∴△MOC≌△NOB（SAS）。∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。 ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。 ∴OM⊥ON。
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。 【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。
（2）利用AAS证明△OMA≌△ONB即可。
（3）利用SAS证明△MOC≌△NOB即可得到OM=ON，∠MOC=∠NOB。通过角的等量代换即
可得∠MON=∠BOC=90°，而得到OM⊥ON。 3. （2018福建厦门10分）已知
ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分
1AB=OB。 2别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF． （1）如图，若PE＝3，EO＝1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋32－4，求BC的长．
【答案】解：（1）连接PO ,
∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。 ∴∠EPO＝∠FPO。
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EO3
在Rt△PEO中， tan∠EPO＝＝，
PE3∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。 （2）∵点P是AD的中点，∴ AP＝DP。
又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。 ∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。
∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ABCD是矩形。 ∵ 点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴ AO∥PF。
∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ABCD是菱形。∴ABCD是正方形。 ∴ BD＝2BC。
332∵ BF＝BD，∴BC＋32－4＝BC，解得，BC＝4。
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【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。
（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。
4. （2018甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE?延长DB到点F，使FB?1ED，21BD，连接AF． 2（1）证明：△BDE∽△FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．
【答案】解:（1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝
11BDED2BD，AE＝ED，∴??。 22FDAD3又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。 （2）直线AF与⊙O相切。证明如下：
连接OA，OB，OC，
∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，
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∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。 ∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线。 ∴AO⊥BC。
∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。 ∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。
【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。
【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。
（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出
∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切。
5. （2018广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值．
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【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=
CE3CE?，即sin60°=，解得CE=53。 102BC（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD， （AAS）∴△AFG≌△CFD。∴CF=GF，AG=CD。
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