∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。 ∴CG是⊙O切线。
∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）=BG×AG=2BG， 【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG=FG﹣BF，∴FG﹣4FG﹣12=0。 解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。
由勾股定理得：AB=BG=62?22=42。 ∴⊙O的半径r是22。
【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。
（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出
CF=DF=BF即可。
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB
推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）=BG×AG=2BG，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到⊙O的半径r。
14. （2018四川资阳9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数； （3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；
[w@ww.^zzste~p.c%om&]22
2222
22
2222
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．
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【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°。 ∵AB=AC，∴BD=DC。
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
??DE?。 ∴∠BAD=∠CAD 。∴BD∴BD=DE。
∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。 ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°， ∴∠DCE=∠ABC=
1 (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。 2∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。 ∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。 ∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。 ∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。 （3）设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°。
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴又∵
OG1?。 AG2OPOP1OPOGOGGP。∴。 ??，∴??ACAB2ACAGAGGC[w
又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。 ∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙O的切线。
【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。 【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。
??DE?，从而可得（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故BD出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°。
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（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知
OG1OPOP1OPOGOGGP， ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相?，由??得??AG2ACAB2ACAGAGGC似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切线。
15. （2018山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3 表示正方形ABCD的面积S．
【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。
（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。 ∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1+1=5。 （3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，
由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2）?h1+h2=2h1+2h1h2+h2．
【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。 【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。
（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF
即可得出结论。
1212222
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（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知
S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，从而得出结论。
16. （2018山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H． （1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠AEB+∠BEA=90°。 ∴∠BAE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。
（2）△ABH∽△ECM。证明如下：
∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°。∴∠ABH=∠ECM。 由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM。 （3）作MR⊥BC，垂足为R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°。 ∴∠MER=45°，CR=2MR。 ∴MR=ER=
12MR22RC=。∴EM=?。 23sin45?3【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF。
（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得
△ABH∽△ECM。
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（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，
又由EM=
MR 即可求得答案。
sin45?上的一个动点，
17. （2018山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； （2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
?的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下： 【答案】解：（1）当点P是BC连接AP。
??AC?∵AB=AC，∴AB。
??PC?，∴PBA??PCA?。∴PA是⊙O的直径。 又∵PB??PC?，∴∠1=∠2。 ∵PB又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。 （2）连接OB，设PA交BC于点E。．
由垂径定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=AB2?BE2?102?62?8。 设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。 又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP， ∴
25。 468BEAE75?，即，解得：DP?。 ?DP2?25DPAP8440