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JINING UNIVERSITY
课程教学大纲
课程名称:高等代数 课程代码:06102
适用专业:数学与应用数学
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《高等代数》课程（06102）教学大纲
一、课程基本信息 课程中文名称：高等代数 课程代码：06102
学分与学时：11学分；180学时 课程性质：专业必修课
授课对象：数学与应用数学专业（本科） 二、课程教学目标和任务
《高等代数》是济宁学院数学系数学与应用数学专业的一门重要的基础课，其主要目标是使学生获得数学的基本思想方法、解题技巧以及提高数学应用能力，培养学生的高度抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力以及灵活的创造性能力。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生创造性能力有着极大地推动作用。
本课程主要包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型、线性空间、线性变换、?-矩阵、欧氏空间等方面的系统知识。
三、学时安排
课程与学时分配表
章 节 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
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内 容 多项式 行列式 线性方程组 矩阵 二次型 线性空间 线性变换 学 时 24 18 18 16 12 18 20 18 18 8 ?—矩阵 欧几里得空间 双线性函数和辛空间 仅供个人参考
四、课程教学内容与基本要求
第一章 多项式
教学目的：掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域；正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念；掌握多项式的运算及运算律； 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质；正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质；能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理，掌握标准分解式；正确理解和掌握k重因式的定义；掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质，正确理解多项式与多项式函数的关系；理解代数基本定理，熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式；深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法； 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。
基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法定理、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。
重点和难点：以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点。以不可约多项式和有理系数多项式为难点。
教学方法：讲授法，讨论法。 主要内容： １.１ 数域
数域的定义及其简单性质；判断一个非空数集是否为数域的方法。 １.２ 一元多项式
数域P上一元多项式的定义,及其多项式相等、首项、首项系数、次数的定义；多项式的运算及运算律；一元多项式环的定义。 １.３ 整除的概念
带余除法及其证明；整除的定义及其性质；多项式的组合。 １.４ 最大公因式
两个(或若干个)多项式的最大公因式和两个(或若干个)多项式互素的概念及性质；用辗转相除法求两个多项式的最大公因式的格式与步骤。 １.５ 因式分解定理
不可约多项式的定义及性质；因式分解及唯一性定理的证明；标准分解式的定义。 １.６ 重因式
重因式的定义及其性质；微商（导数）的定义。 １.７ 多项式函数
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多项式函数的概念；余数定理；多项式的根（重根）的定义及性质；多项式与多项式函数的关系。
１.８ 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理；复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。 １.９ 有理系数多项式
有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，本原多项式的定义；高斯引理；整系数多项式的性质及其有理根的求法；Eisenstein判别法。 １.10 多元多项式
多元多项式及其次数的定义；字典排列法；多元多项式的首项的定义及其性质；多元多项式的齐次成分。 １.11 对称多项式
对称多项式的定义；初等对称多项式；对称多项式基本定理。
第二章 行列式
教学目的：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义，掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。熟练掌握行列式的基本性质；正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式；正确理解元素的余子式、代数余子式等概念，熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧；熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。
基本要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的各种方法，并会运用 Gramer 法则求线性方程组的解。
重点和难点：重点是 n 阶行列式的定义和性质，行列式的一些计算技巧；关于 Gramer 法则的应用。 难点是Laplace 定理，行列式乘法规则的证明以及应用。
教学方法：讲授法；讨论法。 主要内容： ２.1 引言
线性方程组；二级和三级行列式的定义。 ２.２ 排列
排列、逆序、逆序数、奇偶排列、对换的定义及其性质；排列的奇偶性与对换的关系。 ２.３ n级行列式
n级行列式的定义；一些特殊行列式的计算方法；行列式的性质1。 ２.４ n级行列式的性质
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行列式的性质2—7；行列式的简单计算；反对称行列式的性质。 ２.５ 行列式的计算
矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换的定义；阶梯形矩阵；利用行列式性质计算一些简单行列式。
２.６ 行列式按一行（列）展开
行列式的元素的余子式、代数余子式；行列式按一行（列）展开的公式；范德梦德行列式；“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的计算方法和技巧。 ２.７ 克拉默法则
克拉默法则及其应用；齐次线性方程组；齐次线性方程组的零解、非零解及其性质。 ２.8 拉普拉斯定理与行列式的乘法规则
行列式的一个k级子式及其（代数）余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式的乘法定理。
第三章 线性方程组
教学目的： 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算，深刻理解n维向量空间的概念；正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价 的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的极大无关组。深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系；熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解；了解结式和判别式以及简单二元高次方程组的解法。
基本要求：熟练掌握一般线性方程组解的判别；会以矩阵为工具求解方程组。深刻领会向量组的线性关系。
重点和难点：以向量的线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 以线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。
教学方法：讲授法。 主要内容： 3.1 消元法
一般线性方程组及其系数、常数项、解；线性方程组的初等变换；同解方程组；阶梯形方程组的特征及作用；线性方程组的一般解；线性方程组的增广矩阵；如何用消元法求线性方程组的一般解。 3.2 n维向量空间
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