产量生产，请找到利润最大化的产量。
解：先找到边际收益，并使边际收益等于边际成本。如下表所示： 价格（元） 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 产量 0 10 20 30 40 50 60 70 总收益（元） 0 70 130 180 220 250 270 280 边际收益（元） - 7 6 5 4 3 2 1 （1）当总产量为40时，边际收益等于边际成本。每一厂商购买2桶化学品，翻新20件家具。
（2）A公司找到竞争对手的市场需求、边际成本和产量。按照（1）中计算的B的产量，B公司预期生产20单位。
从市场需求中减去对手的产量，如下表所示。 价格（美元） 7.00 6.50 6.00 5.50 价格（美元） 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 产量 0 20-20=0 30-20=10 40-20=20 产量 0 0 10 20 30 40 50 价格（美元） 5.00 4.50 4.00 产量 50-20=30 60-20=40 70-20=50 总收益（美元） 0 0 60 110 150 180 200 边际收益（美元） - - 6 5 4 3 2 A公司的边际收益，如下表所示。 所以，当产量为30时，边际收益等于边际成本即4美元。
12. 双头垄断企业的成本函数分别为Cl(q1)=20q1，C2(q2)=40q2。市场需求函数为P=200－Q，其中Q=q1+q2。企业1为私有企业，以最大化利润为目标：企业2为国有企业，以最大化社会福利为目标，其中社会福利定义为消费者剩余和两个企业利润之和。
(1)假定两个企业进行古诺(Cournot)竞争，求出古诺均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
(2)假定两个企业进行斯坦克尔伯格(Stackelberg)竞争，企业l为领导者，求出均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
(3)假定两个企业进行斯坦克尔伯格(Stackelberg)竞争，企业2为领导者，求出均衡情况下各企业的产量、价格、企业1的利润、社会福利。
(4)假定企业可以选择在时期1或时期2生产。考虑一个两个阶段的博弈。在第一阶段，两个企业同时声明在时期1或时期2生产。在第二阶段，两个企业进行产量竞争，生产时期由第一阶段的声明决定。如果两个企业都选择时期1，那么它们进行古诺竞争；如果选择
不同的时期，那么它们进行斯坦克尔伯格竞争。也就是说，企业生产的先后顺序变成内生决定而不再是外生的。列出该博弈的报酬矩阵，并决定内生时间顺序。如果存在多重均衡，指出是否某一均衡帕累托占优于其他均衡。（中央财大2007研）
解：（1）企业1的利润为：?1?P?q1?C(q1)?(200?q1?q2)q1?20q1 利润最大化的一阶条件为：
??1?q1?180?2q1?q2?0
180?q22所以企业1的最优反应函数为：q1? ①
企业2的利润为：?2?P?q2?C(q2)?(200?q1?q2)q2?40q2 对于线性需求曲线而言，消费者剩余为：CS?112(q1?q2)2
因此整个社会福利为：W??1??2?CS??(q1?q2)2?180q1?160q2
2因而企业2的最优化问题的一阶条件为：
?W?q2??(q1?q2)?160?0
企业2的最优反应函数为：q2?160?q1 ② 由①②两式可得，q1?20，q2?140 市场价格为：P=200-160=40
企业1的利润为：?1?40?20?20?20?400
社会福利为：W???1602?180?20?160?140?13200
21（2）假定两个企业进行斯坦克尔伯格竞争，企业l为领导者，假设企业1的产量为q1，则由（1）可得，企业2的反应函数为：q2?160?q1，因而有：q2?q1?160，因此市场价格P=200-160=40。代入企业1的利润函数可得：?1?P?q1?C(q1)?20q1。因此，企业1为了实现自身利润最大化，将生产q1?160，从而企业2的产量q2?0。
企业1的利润为：?1?20?160?3200 社会福利为：W???1602?180?160?16000
21（3）假定两个企业进行斯坦克尔伯格竞争，企业2为领导者，则由（1）可得，企业1的反应函数为：q1?180?q22，代入社会福利函数可得：W??0.5(90?0.5q2)2?70q2?16200
企业2最优化问题的一阶条件为：
?W?q2??0.5(90?0.5q2)?70?0
解得企业2的产量为：q2?100 因而企业1的产量为：q1?40 市场价格为：P=200-140=60
企业1的利润为：?1?60?40?20?40?1600
社会福利为：W??0.5?(90?50)2?70?100?16200?13400 （4）该博弈的支付矩阵为：
博弈支付矩阵可知，该博弈存在两个纯策略纳什均衡为：（时期1，时期2），（时期2，时期1），即两个企业选择分别在不同的时期生产。此外，该博弈还存在一个混合策略纳什均衡为：（p=
115，q=0.9）。
其中策略（时期1，时期2）帕累托优于策略（时期2，时期1）。
13．假设厂商I垄断商品y的生产，y的需求函数为p?50?0.5y。在现有的生产条件下，边际成本不变，MC=10，没有固定成本。现在假设由于新技术的使用，使边际成本减少到0，开发这个技术的固定成本为550元。厂商I和潜在的厂商Ⅱ需要决定是否要开发这一技术。如果只是厂商I开发这个技术，他将运用新技术；如果厂商Ⅱ开发这个技术，将形成古诺双头垄断的局面，厂商I的边际成本为10，厂商Ⅱ的边际成本为0。如果两家都开发这人技术，亦形成古诺双头垄断局面，致使两家的边际成本都将为0。试问：
（1）如果仅有厂商I开发这一技术，试求他可以得到的垄断利润。
（2）如果仅由厂商Ⅱ开发这一技术，试求厂商I和厂商Ⅱ分别可以得到的垄断利润。 （3）如果两家厂商都开发这一技术，试求每家厂商将得到的垄断利润。
解：（1）当仅由厂商I开发这一技术时，将使他的边际成本等于0。由p?50?0.5y得，
MC=MR=50－y=0，y?50
p=50－0.5×50=25
利润=TR－TFC=50×25－550=700
（2）当仅由厂商Ⅱ开发这一技术时，厂商I的边际成本为10，厂商Ⅱ的边际成本为0。 p?50?0.5(y1?y2)
TR1?py1?50y1?0.5(y1?y2)y1 MC1?MR1?50?0.5y2?y1?10
得y1?40?0.5y2
由TR2?py2?50y2?0.5(y1?y2)y2 得MC2?MR2?50?0.5y1?y2?0 y2?50?0.5y1
y1?40?0.5(50?0.5y1)
得y1?20 y2?40 y?y1?y2?60 P?50?0.5?60?20
?1?(P?MC)?y1?(20?10)20?200
?2?Py2?TC?20?40?550?250
（3）如果两厂商都开发这一技术，两家边际成本都为0。 由MC1?50?0.5y2?y1?0和MCy1?50?0.5y2y2?50?0.5y12?50?0.5y1?y2?0得
2003得y1?y2?1003，y?y1?y2?
P=50－200/6=50/3
?2??1?pq?TC?(50/3)(100/3)?550?5.56
14．在古诺模型中，行业的需求曲线函数为p=1－y，可变成本为0。行业的厂商数量达到了均衡。试问：
（1）当厂商数量分别为2个、3个和N个时，求每一厂商均衡的价格和利润。
（2）假设可变成本仍为0，但每一厂商有0.05的进入该行业的进入成本，计算（1）时每一厂商的均衡价格和利润？如果可能免费进入该行业，长期均衡的厂商数量为多少？
（3）假设该行业N个厂商中的每一厂商都相信自己能占有1/N的产量，在这种情况下，厂商的长期均衡的数量是多少？
解：（1）当只有两个厂商时，这两个厂商的利润函数分别为?1?(1?y1?y2)y1，
?2?(1?y1?y2)y2
由
??1?y1??2?0得厂商I的反应函数为y1?1/2?y2/2
由
?y2?0得厂商Ⅱ的反应函数为y2?1/2?y1/2
解得：y1?y2?1/3 y?y1?y2? p?1?2/3?1/3
23
?1??2?py1?1/9
三个厂商时，则：
厂商I的反应函数为y1?1/2?y2/2?y3/2 厂商Ⅱ的反应函数为y2?1/2?y1/2?y3/2 厂商Ⅲ的反应函数为y3?1/2?y1/2?y2/2 解得：y1?y2?y3?1/4 P?1?3/4?1/4 ?i?1/16 i=1，2，3
当厂商的数量为N时，每个厂商的反应函数可以由下式推出：
1?y1?y2??yn?yi?0 i=1，2，?, N
均衡价格和产量为：
yi?1/(N?1) i?1,2?,N p=1－N/（N＋1）=1/（N＋1） ?i?[1/(N?1)] i?1,2?,N
（2）价格和数量是相同的，利润将比前一情况少0.05。在长期，利润为零，即
2?1/(N?1)??0.05?0，所以N=3.47。厂商的数量一般是整数，所以N=3。
2（3）每一厂商的利润为??(1?Ny)y?0.05，y是一个厂商的产量。为使利润最大化，因此有：
令
???y?1?2Ny?0，得Ny?12则：
12NP=1－1/2=1/2 y=
在长期，??py?TC?14N
?0.05?0，N?5
即厂商的长期均衡的数量为5。
15. 考虑在市场有两家企业生产同质产品。市场需求为：其中
qa
和
qb分别为企业A和企业B的产量。两家企业的成本函数分别为：