（法二）（1）四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，
?BC?CE，BC?CD，
又
平面ABCD?平面BCEF，且
平面BCEF?BC，
平面ABCD?DC?平面BCEF．
以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
A(2,0,4)，B(2,0,0)，C(0,0,0)，D(0,0,4)，E(0,4,0)，F(2,2,0)， 则AF?(0,2,?4)，
CB?(2,0,0)． ………………2分
BC?CD，BC?CE， ?CB为平面CDE的一个法向量．
又
AF?CB?0?2?2?0?(?4)?0?0，
?AF//平面CDE． …………………………………………………………4分
??AD?n1?0,（2）设平面ADE的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，则?
??DE?n1?0.AD?(?2,0,0)，DE?(0,4,?4)，
??2x1?0??， 取z1?1，得n1?(0,1,1)． ……………………………6分
4y?4z?01?1DC?平面BCEF，
?平面BCEF一个法向量为CD?(0,0,4)，
11
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为?，
则cos??CD?n1CD?n1?42?． 24?2因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为2．…………………9分 2（3）根据（2）知平面ADE一个法向量为n1?(0,1,1)，
EF?(2,?2,0)， ?cos?EF,n1??EF?n1EF?n1??21??，………12分
222?2设直线EF与平面ADE所成角为?，则cos??sin?EF,n1??3． 2因此，直线EF与平面ADE所成角的余弦值为3．………………………14分 2【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
）（=1+2）a1，解得a1=8． 19．解：（1）当n=1时，有4?(1?1)(a1+1当n=2时，有4?(2?1)(a1?a2?1)?(2?2)a2，解得a2=27．……………2分
22(n?2)2an（2）（法一）当n?2时，有4(Sn?1)?, ……………①
n?1(n?1)2an?1．…………………② 4(Sn?1?1)?nan(n?1)3(n?2)2an(n?1)2an?1=①—②得：4an?，即：．…………5分 ?3ann?1nn?1?anan?1an?2a2==?…?=1．
(n?1)3n3(n?1)3333 ? an=(n?1) (n?2)． ………………………………………8分
anan?1??另解：an?an?1an?2a2(n?1)3n3??a1???33a1n(n?1)433?3?2?(n?1)3． 3 12
又
当n=1时，有a1=8， ?an=(n?1)．…………………………8分
33（法二）根据a1=8，a2=27，猜想：an=(n?1)．………………………………3分 用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n?1时，有a1?8?(1?1)，猜想成立． （Ⅱ）假设当n?k时，猜想也成立，即：ak=(k?1)． 那么当n?k?1时，有4(k?1?1)(Sk?1?1)?(k?1?2)ak?1，
233(k?1?2)2ak?1即：4(Sk?1?1)?，………………………①
k?1?1(k?2)2ak又 4(Sk?1)?， …………………………②
k?1(k?3)2ak?1(k?2)2ak(k?3)2ak?1(k?2)2(k?1)3 ①-②得：4ak?1?， ?=?k?2k?1k?2k?1解，得ak+1?(k?2)?(k?1?1) ．
33?当n?k?1时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得an=(n?1)成立．………………………………………8分 （3）
3bn?n?11111=???， ……………………………10分 an(n?1)2n(n?1)nn?1?Tn=b1?b2?b3?…?bn?1?bn =11111???…?? 223242n2(n?1)2 <11111???…?? 222?32?3(n?1)nn(n?1)111111111=?(?)?(?)?…?(?)?(?)
42334n?1nnn?1 =1113???． ………………………………………14分 42n?14【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
13
20．（本小题满分14分） 解：（1）（法一）
点P(2,2)在抛物线C上， ?p?1． ……………………2分
设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l?方程为y?x?m，
?y?x?m,由?2 得x2?(2m?2)x?m2?0， ?y?2x,??(2m?2)2?4m2?4?8m，
?由??0，得m?11，则直线l?方程为y?x?． 22两直线l、l?间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，
?有b?1232，解得b?2或b??1（舍去）． ?42?直线l的方程为y?x?2，抛物线C的方程为y2?2x．…………………………6分
（法二）
点P(2,2)在抛物线C上， ?p?1，抛物线C的方程为y2?2x．……2分
t2设M(,t（)t?R)为抛物线C上的任意一点，点M到直线l的距离为
d?21t2?d?[(t?1)2?2b?1]， 据图象，有?t?b?0，
222t?R，?d的最小值为t2?t?b，根222b?12b?132，由，解得b?2． ?22422因此，直线l的方程为y?x?2，抛物线C的方程为y2?2x．…………………6分 （2）直线AB的斜率存在，?设直线AB的方程为y?1?k(x?2)，即y?kx?2k?1，
由??y?kx?2k?1,2?y?2x, 得ky2?2y?4k?2?0，
设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1?y2?2?4k2，y1y2?，
kkk1?y1?2y1?222?2?k?， …………………………9分 x1?2y1y1?2，2y2?2?2214
22?+82(y1?y2)?8224k?2k?k1?k2?????．…10分
y1?2y2?2y1y2?2(y1?y2)?42?4k?2?2?43kk由??y?kx?2k?1,2k?14k?1 得xM?，yM?，
k?1k?1y?x?2,?4k?1?22k?1??k3?k?1， ……………………………………………13分
2k?13?2k?1?k1?k2?2k3．
因此，存在实数?，使得k1?k2??k3成立，且??2．…………………………14分 【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切 线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21．（本小题满分14分）
9[1?(1?ax2)?x?2ax]9(1?ax2)?解：（1）f?(x)?，…………………………2分 22(1?ax)(1?ax2)2令f?(x)?0，解得x??a（负值舍去）， a由
11a??2，解得?a?4．
42a11时，由x?[,2]，得f?(x)?0， 42181?f(x)在[,2]上的最大值为f(2)?．…………………………………3分
24a?11（ⅱ）当a?4时，由x?[,2]，得f?(x)?0，
21181?f(x)在[,2]上的最大值为f()?．……………………………………4分
22a?4（ⅰ）当0?a?（ⅲ）当
1?a?4时，在1?x?a时，f?(x)?0，在a?x?2时，f?(x)?0， 42aa1a9a?f(x)在[,2]上的最大值为（．…………………………………5分 f）=2a2a 15
（2）设切点为(t,f(t))，则??f?(t)??1, ……………………………6分
?f(t)??t?2a.9[1?at2]??1，化简得a2t4?7at2?10?0， 由f?(t)??1，有22(1?at)即at2?2或at2?5， ……………………………① 由f(t)??t?2a，有
9t?2a?t，……………② 21?at534由①、②解得a?2或a?． ……………………………………………9分
4（3）当a?2时，f(x)?9x，
1?2x2由（2）的结论直线y?4?x为曲线y?f(x)的切线，
f(2)?2，?点(2,f(2))在直线y?4?x上，
根据图像分析，曲线y?f(x)在直线y?4?x下方． …………………………10分 下面给出证明：当x?[,2]时，f(x)?4?x．
29x2x3?8x2?10x?4（2x?1）(x?2)， ?f(x)?(4?x)??4?x?2221?2x1?2x1?2x121?当x?[,2]时，f(x)?(4?x)?0，即f(x)?4?x．………………………12分
2?f(x1)?f(x2)?x1?x2??f(x14)?4?14?(x1?x2??x14)，
?x14?14， ?f(x1)?f(x2)??f(x14)?56?14?42．
?要使不等式f(x1)?f(x2)?又
当x1?x2??f(x14)??恒成立，必须??42．……………13分
?x14?14，
?x14?1时，满足条件x1?x2??f(x14)?42，
且f(x1)?f(x2)?因此，?的最小值为42． …………………………………………………14分
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识
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