3.5 零方程模型
所谓零方程模型是指确定湍流黏性系数不需要微方程的模型。 3.5.1 常系数模型
最简单的零方程模型是常系数模型。对自由剪切层流动，Prandtl提出在同一截面上????为常数。
=utCdumax?umin （3.15）
式中，δ为剪切层厚度（δ为对称轴到1%速度点之间的距离），umax与umin为同一截面上的最大和最小流速。
3.5.2 二维Prandtl混合长度理论
在二维坐标系中，湍流切应力表示成为：
2?u?u′= （3.16） ?ρui′ujρlm?y?y或
2μt=ρlm?u （3.17） ?y加以确定的参数。确定合适的混合长度是零方程模型的关键。
2lm是从量纲考虑的唯一选择；
μ为主流的时均速度，y是与主流方向相垂直的坐标。lm称为混合长度，是这种模型中需要
?u?u是造成动量交换的根本原因；是按照牛顿切应
?y?y力公式。混合长度理论已被推广到三维流动。
混合长度理论适用于一些比较简单的流动，如：边界层类型流动与换热（机翼上气流脱离前部分）；平直通道内的流动与换热；回流较弱接近于边界层类型流动与换热等。但混合长度理论在物理概念上存在着不足之处，如：在管道中心线处速度梯度为零，但实际 ????不为零；不能考虑湍流的历史（上游情况）的影响；不能考虑到湍流强强度的影响。因此，引入偏微分方程来确定湍流粘性系数来适应这方面的需要。
3.6雷偌应力输运方程和湍动能输运方程推导 3.6.1 纳维-斯托克斯方程
不可压缩牛顿型流体运动的控制方程是纳维-斯托克斯方程。在直角坐标下，它可表示为：
?ui?ui?2ui1?p +uj=?+ν+fi （2.1）
?t?xj?xjxjρ?xi
?ui=0 （2.2） ?xi6
ρ是流体密度，ν是流体的运动粘性系数，fi是质量力强度。
3.6.2 雷偌方程
由第3节可得雷偌方程组为：
?ui=0 （2.6） ?xi?(ρui)?(ρuiuj)?p?+=?+?t?xj?xi?xj??u?i′?+fi （2.7） ?ρui′uj?μ??xj???3.6.3 脉动运动方程
将N-S方程（2.1）和（2.2）和雷偌平均方程（2.7）和（2.6）相减，得到脉动运动的控制方程。通常质量力是确定性的，即fi=fi，经过运算，得到脉动运动的控制方程如下：
2′uui′?ui′?ui′??p??1i ui′u′j?ui′u′j （2.8a）+uj+uj′=?+ν?ρ?xi?t?xj?xj?xj?xj?xj()?ui′ =0 （2.8b）
?xi 式（2.8a）称为脉动运动方程，式（2.8b）称为脉动连续方程。 3.6.4 雷诺应力输运方程
从湍流脉动方程（2.8）出发，在ui′脉动方程上乘以u′j，再用ui′乘以u′j的脉动方程，两式相加后做平均运算，得到如下不可压缩湍流的雷诺应力输运方程：
其中，
?ui′u′j?t+uk?ui′u′j?xk=D(ui′u′j)Dt=Pi,j+πi,j+Di,j?εi,j
Cij?ui′u′j?t+uk?ui′u′j?xkD(ui′u′j)=是雷诺应力在平均运动轨迹上的增长率。
Dt?
是雷诺应力和平均运动速度梯度的? 为应力产生相，
??
??uj?u′′′i??uiuk+u′jukPi,j=??xk?xk?
乘积，它是产生湍动能的关键。
p′??uj′?ui′???是压力应变再分配项，是脉动压强和脉动速度变形张量的=+πi,jρ??xi?xj???平均值。
?(ui′u′j)u′jp′ui′p′???
′?ν?+di,k+dj,kDi,j=?ui′u′juk?为雷诺应力扩散相。 ??ρρ??xk??xk
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εi,j?ui′?ui′为耗散项 =2ν?xk?xk3.6.4 湍动能输运方程
将雷诺应力输运方程做张量的收缩运算，得：
?ui′u′j?t
+uk?ui′u′j?xk′=?2ui′uk?uj????xk?xk??(ui′u′j)2u′jp′???ui′???ui′?′′′+?uiujuk?ν??2ν?????????ρxxxkkk??????将ui′u′j=2k代入上式，得湍动能输运方程如下：
?u?k?k?′i?+uk=?ui′uk?t?xk?xk?xk?′p′???ui′???ui′??kuk′′?+kuν?k??ν????
???xxxρk???k??k?C=k?k?k是湍动能在平均运动轨迹上的增长率。 +uk?t?xk′Pk=Pii/2=?ui′uk?ui表示雷诺应力和平均运动变形率张量的二重标量积。从流体动?xk力学一般原理中知道应力和当地速度梯度的标量积是向质点输入能量的机械功，因此Pk表示雷诺应力通过平均运动的变形率向湍流脉动输入的平均能量。Pk>0表示平均运动向脉动运动输入能量，反之，Pk<0将使湍动能减小，因此Pk称为湍动能生成项。
′p′????kuk′′Dk=ku??+ν?k?表示一种扩散过程，它由三部分组成：1.由压力速度?xk??xkρ?′=ui′u′juk′/2产生的扩散，它是由湍流脉相关产生的扩散作用；2.由湍流脉动3阶相关k′uk′的不规则运动携带的脉动动能平均值，属于湍流的扩散作用，它有别于分子粘性的湍动uk动能扩散；3.由分子粘性产生的湍动能扩散：ν?k。 ?xkε=ν?ui′?ui′是湍动能的耗散项，从湍动能耗散的表达式可以肯定ε>0，而在湍动能
?xk?xk方程中这一项总是使湍动能减小，所以称ε为湍动能的耗散项 3.7一方程模型
在现象上湍流最大的特点是脉动，脉动动能是表征脉动大小的最合适的物理量，要考虑湍流本身特性的影响，须将k作为求解变量。 3.7.1 Prandtl-Kolmogorov假设
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在混合长度理论中，????（或????）仅与集合位置及时均速度场有关，而与湍流的特性参数无关。混合长度理论应用的局限性启发我们湍流粘性系数应当与湍流本身的特性量有关。将湍流脉动造成黏性过程与分子扩散形成分子黏性的过程相比拟，可以设想湍流粘性系数应当与脉动的特征速度及脉动的特征尺度的乘积有关，正如分子粘性正比于分子平均自由程与其速度的乘积一样。（分子黏性μl∝ρuλ→湍流黏性μt∝ρk1/2l）。湍流脉动动能的平
方根，即k1/2，可以作为湍流脉动速度的代表。Prandtl和Kolmogoro从上述考虑提出了计算????的表达式：
′ρkl （9-20） μt=cμ′为经验系数，l是湍流脉动的长度标尺。 其中cμ3.7.2 湍流脉动动能方程
经过简化处理，可得k方程的最终形式如下：
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?k?k?ρ+ρuj=?t?xj?xj??μt+μ??σk????uj??uj?ui??k?+??+μt???xi??xi?xj???xj??k3/2（9-21） ?cρ??Dl?非稳态项 对流项 扩散项 产生项 耗散项
σk称为脉动动能的Prandtl数，其值在1.0左右。
3.7.3 一方程模型
利用k方程来确定μt时，整个控制方程组包括连续性方程、动量方程、能量方程及k方程。此外还必须对式（9.20）（9.21）、中的l做出规定才能使方程组封闭。这样连同式（9.20）就构成了一方程湍流模型。
式（9.21）中的l称为湍流长度标尺，不同的k方程模型间的区别也就在于计算l方法不同。常用的做法是采用类似于混合长度理论中????的计算式。
在一方程模型中，湍流粘性系数与能表征湍流流动特性的脉动动能联系起来，无疑优于混合长度理论。但是在一方程模型中仍要用经验的方法规定长度标尺的计算公式，这是一方程模型的主要缺点。实际上湍流长度标尺本身也是与具体问题有关的，需要有一个偏微分方程来确定，这就导致了两方程模型。
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附：Fluent中的Spalart-Allmaras模型（10-11页）
3.3.1 单方程（Spalart-Allmaras）模型
~，表征出了近壁（粘性影响）区域以外的湍流运Spalart-Allmaras模型的求解变量是ν~的输运方程为： 动粘性系数。ν~~?~????νDν1????ν??~???Yν 3－9 ρ=Gν+??+Cb2ρ??(μ+ρν)??σν~?Dt?xj???xj???????xj?其中，Gν是湍流粘性产生项；Yν是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；σν~和Cb2是常数；ν是分子运动粘性系数。
湍流粘性系数用如下公式计算：
~f μt=ρνν1
~ν，并且χ≡。 其中，fν1是粘性阻尼函数，定义为：fν1=3
3
νχ+Cν1
湍流粘性产生项，Gν用如下公式模拟：
~~G=CρSν 3－10
χ3
~νχ~。其中，Cb1和k是常数，d是计算点其中，S≡S+22fν2，而fν2=1?1+χfν1kd2?ij?ij。?ij定义为：
νb1到壁面的距离；S≡?uj?ui1???ij=?2?x??i?xj?? 3－11 ??由于平均应变率对湍流产生也起到很大作用，FLUENT处理过程中，定义S为：
S≡?ij+Cprodmin(0,Sij??ij) 3－12
其中，Cprod=2.0，?ij≡?ij?ij，Sij≡2SijSij，平均应变率Sij定义为：
Sij=?u1??j+?ui2???xi?xj?? 3－13 ??在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小。这适合涡流靠近涡旋中心的区域，那里只有“单纯”的旋转，湍流受到抑止。包含应变张量的影响更能体现旋转对湍流的影响。忽略了平均应变，估计的涡旋粘性系数产生项偏高。
湍流粘性系数减少项Yν为：
~??νYν=Cw1ρfw?? 3－14
?d?2其中，fw=g??1+C?? 3－15 6gC+??g=r+Cw2(r6?r) 3－16
~νr≡~22 3－17
Skd10
6w36w31/6