2C1′=?C1+1.67
31??2?C2??36′=max?,0? C2?C2?????其中，Ret=ρk2/(με)，参数A和张量不变量A2, A3定义为：
??9A≡?1?(A2?A3)?
??8A2≡αikαki
A3≡αikαkjαji
式中，αij是雷诺应力张量各向异性部分，定义为：
2??uu+ρρkdij?ij3αij=??ρk?????? 3－47 ???
二阶压力应变模型
二阶压力应变模型由Spezible {L157}等人提出。
1*Φij=?(C1ρε+C1*P)bij+C2ρε(bikbkj?bmnbmndij)+(C3?C3bijbij)ρkSij
32+C4ρk(bikSjk+bjkSik?bmnSmndij)+C5ρk(bik?jk+bjk?ik) 3－48
3
式中，bij是雷诺应力各向异性张量，定义为：
2???ρuiuj+ρkdij3 bij=??2ρk???平均应变率Sij定义为: Sij=??? 3－49 ????u1??j+?ui2???xi?xj???u?；?ij=1?j??ui?2????xi?xj??；模型常数??*C1=3.4，C1*=1.8，C2=4.2，C3=0.8，C3=1.3，C4=1.25，C5=0.4。
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二阶压力应变模型不需要考虑壁面反射影响去模拟对数区湍流边界层过程。
浮力对湍流的影响
浮力引起的产生项模拟为：
Gij=βPrt??μt??gi?T?T?? 3－50 +gj?xj?xi??其中，Prt是能量的湍流普朗特数，默认设置值为0.85。
对于理想气体，把热膨胀系数的定义代入上式，得：
Gij=?
ρPrt??μt??gi?ρ?ρ?? 3－51 +gj?xj?xi??雷诺压力模型（RSM）
在FLUENT中RSM是最精细制作的模型。放弃等方性边界速度假设，RSM使得雷诺平均N-S方程封闭，解决了关于方程中的雷诺压力，还有耗散速率。这意味这在二维流动中加入了四个方程，而在三维流动中加入了七个方程。由于RSM比单方程和双方程模型更加严格的考虑了流线型弯曲、漩涡、旋转和张力快速变化，它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺压力有关的方程。压力张力和耗散速率被认为是使RSM模型预测精度降低的主要因素。RSM模型并不总是因为比简单模型好而花费更多的计算机资源。但是要考虑雷诺压力的各向异性时，必须用RSM模型。例如飓风流动、燃烧室高速旋转流、管道中二次流。
Reynolds Stress
直接使用输运方程来解出雷偌应力，避免了其他模型的粘性假设；模拟强旋流相比于其他模型有明显优势。
事最复杂的RANS模型。避免了各向同性的涡旋粘性假设。占用较多的CPU时间和内存。较难收敛。对于复杂3D流动较适用（例如，弯曲管道，旋转，旋流燃烧，旋风分离器），尤其是强旋流运动。
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3.10 湍流的大涡模拟方法
大涡数值模拟的基本思想是直接计算大尺度脉动，而只对小尺度脉动作模式假定。所以，实现大涡数值模拟的第一步是把小尺度脉动过滤掉。
3.10.1 大涡模拟的控制方程
由N-S方程，可以得到如下的方程：
?ui+ ?t附：Fluent中大涡模拟
3.3.6 大涡模拟（LES）
湍流中包含了不同时间与长度尺度的涡旋。最大长度尺度通常为平均流动的特征长度尺度。最小尺度为Komogrov尺度。
LES的基本假设：1，动量、能量、质量及其它标量主要由大涡输运；2，流动的几何和边界条件决定了大涡的特性，而流动特性主要在大涡中体现；3，小尺度涡旋受几何和边界条件影响较小，并且各向同性；大涡模拟过程中，直接求解大涡，小尺度涡旋模拟，从而使得网格要求比DNS低。
3.3.6.1大涡模拟的控制方程
LES的控制方程是对Navier-Stokes方程在波数空间或者物理空间进行过滤得到的。过滤的过程是去掉比过滤宽度或者给定物理宽度小的涡旋，从而得到大涡旋的控制方程。
过滤变量（上横线）定义为：
φ(x)=∫Dφ(x′)G(x,x′)dx′ 3－55
其中，D表示流体区域；G是决定涡旋大小的过滤函数。 在FLUENT中，有限控制体离散本身暗中包括了过滤运算，
φ(x)=1∫Vφ(x′)dx′， x′∈V 3－56 V其中V是计算控制体体积，过滤函数为：
x′∈V?1/V
3－57 G(x,x′)=?
′0x?V?
目前，大涡模拟对不可压流动问题得到较多应用，但在可压缩问题中的应用还很少，
因此这里涉及的理论都是针对不可压流动的大涡模拟方法。在FLUENT中，大涡模拟只能针对不可压流体（当然并非说是密度是常数）的流动。
过滤不可压的Navier-Stokes方程后，可以得到LES控制方程：
?ρ?ρui+=0 3－58 ?t?xi?u????p?τij(ρui)+(ρuiuj)=(μi)?? 3－59 ?t?xj?xj?xj?xi?xj
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其中，τij为亚网格应力，定义为：
τij=ρuiuj?ρui?uj 3－60
很明显，上述方程与雷诺平均方程很相似，只不过大涡模拟中的变量是过滤过的量，而非时间平均量，并且湍流应力也不同。
3.3.6.2 亚网格模型
由于LES中亚网格应力项是未知的，并且需要模拟以封闭方程。目前，采用比较多的亚网格模型为涡旋粘性模型，形式为：
τij?τkkdij=?2μtSij 3－61
式中，μt是亚网格湍流粘性系数；Sij是求解尺度下的应变率张量，定义为：
13?u?uj1?Sij=?i+2???xj?xi?? 3－62 ??求解亚网格湍流粘性系数μt时，FLUENT提供了两种方法。第一，Smagorinsky-Lilly模型；第二，基于重整化群的亚网格模型。
最基本的亚网格模型是Smagorinsky [L145]最早提出的，Lilly [L99]把它进行了改善，这就是今天的Smagorinsky-Lilly模型。该模型的涡粘性计算方程为：
μt=ρL2sS 3－63
式中，Ls是亚网格的混合长度；S≡长度Ls可以用下式计算。
2SijSij。Cs是Smagorinsky常数，则亚网格混合
Ls=min(kd,CsV1/3) 3－64
其中，k=0.42，d是到最近壁面的距离，V是计算控制体体积。 Lilly通过对均匀各向同性湍流惯性子区湍流分析，得到了Cs＝0.23。但是研究中发现，对于有平均剪切或者过渡流动中，该系数过高估计了大尺度涡旋的阻尼作用。因此，对于比较多的流动问题，Cs＝0.1有比较好的模拟结果，该值是FLUENT的默认设置值。 我们再来看看基于重整化群思想的亚网格模型。人们用重整化群理论推导出了亚网格涡旋粘性系数[L182]，该方法得到的是亚网格有效粘性系数，μeff=μ+μt，而
μeff??μs2μeff???=μ?1+H?C??3?μ???????1/3 3－65
式中，μs=(CrngV1/3)22SijSij，H(x)是Heaviside函数，
x>0?x
3－66 H(x)=?
x≤0?0
V是计算控制体体积；重整化群常数Crng=0.157,而常数C=100。
对于高雷诺数流动（μt>>μ ），μeff?μt，基于重整化群理论的亚网格模型就与
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Smagorinsky-Lilly模型相同，只是模型常数有区别。在流动场的低雷诺数区域，上面的函数就小于零，从而只有分子粘性起作用。所以，基于重整化群理论的亚网格模型对流动转捩和近壁流动问题有较好模拟效果。
3.3.6.3 大涡模拟的边界条件
对于给定进口速度边界条件，速度等于各个方向分量与随机脉动量的和，即：
ui=
其中，I是脉动强度，ψ是高斯随机数，满足ψ=0，ψ′=1。
如果网格足够密并可以求解层流底层的流动的话，壁面切应力采用线性应力应变关系，即：
ρuyu
=τ 3－67 uτμ如果网格不够细，则假定与壁面邻近网格质心落在边界层对数区内，则：
ρuyu1=lnE(τ) 3－68 uτkμ其中，k=0.418，E=9.793。
表3－1 雷诺平均模型的比较
模型名字 Spalart-Allmaras 标准kRNG
优点
计算量小，对一定复杂程度的
边界层问题有较好效果 应用多，计算量合适，有较多数
据积累和相当精度
能模拟射流撞击，分离流，二次
流，旋流等中等复杂流动 和RNG模型差不多，还可以模
拟圆口射流问题
考虑的物理机理更仔细，包括了
湍流各向异性影响
缺点
计算结果没有被广泛测试，缺少子模型，
如考虑燃烧或浮力问题
对于流向有曲率变化，较强压力梯度，有
旋问题等复杂流动模拟效果欠缺 受到涡旋粘性各向同性假设限制 受到涡旋粘性各向同性假设限制 CPU时间长（2～3倍），动量和湍流量高
度耦合。
?ε
k?ε
Realizable
k?ε
雷诺应力模型
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