当x??1时，f'(x)?0；当?1?x?0时，f'(x)?0， 所以函数f(x)在x??1处无极值
同理函数在x?1处去极值 （2）利用导数求函数的最值 在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下。怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题。
假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：①找出可能为极值点的函数值（即区间内使f'(x)?0或f'(x)不存在的所有点的函数值）；②计算出端点处的函数值f(a),f(b)；③比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，其中最小的就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。
最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）。
??例6、求函数y?sin(2x)?x在区间[?,]上的最大、最小值。
22??解：f'(x)?2cos(2x)?1，令f'(x)?0即2cos(2x)?1?0解得x1??,x2?，
66x变化时f'(x)，f(x)的变化如下表： x f'(x) f(x) ??2 (?? ,?) 26— ???60 (???,) 66+ ? 60 33?? 6(,) 62— ??? 2 ?? 2? ??336 ? ? ?2 由上表可知最大值是
??，最小值为?
22例7、已知a?0，函数f(x)?(x2?2ax)ex，当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论。
解：f'(x)?[x2?2(1?a)x?2a]ex，由f'(x)?0，得
x1,2?a?1?1?a2(x1?x2)(a?0)，x变化时f'(x)，f(x)的变化如下表：
x f'(x) f(x) (??,x1) + ? x1 0 极大值 (x1,x2) — ? x2 0 极小值 (x2,??) + ? 当(a?0)时，x1??1,x2?0。而当x?0时，f(x)?x(x?2a)ex?0；
x?0时，f(0)?0。
所以当x?a?1?a2?1时，f(x)取得最小值。
（3）利用导数求函数值域
求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容---导数来求解值域
例8、求函数y?2x?4?x?3的值域。 解：函数的定义域为[?2,??)，
y'?112x?3?2x?4 ??2x?42x?322x?4?x?32x?8
2x?3?2x?4又2x?3?2x?4?可见当x??2时，y'?0
所以y?2x?4?x?3在[?2,??)上是增函数。而f(?2)??1， 所以函数y?2x?4?x?3的值域是[?1,??)
（4）实际问题中导数的应用 例9、（2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系式x?2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。
(1) 将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y?0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：w?2000t?st
100021000210002)时，)?因为w?2000t?s(t)??s(t?，所以当t?(w取sss210002)（吨）. 的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量t?(s(2)设甲方在索赔中获得的净收为v元，则v?st?0.002t2，将乙方获的最大
10002)代入上式，可得到甲方净忙收入v与赔付价格s之间的利润的年产量t?(s100022?10003?函数关系式v?st?0.002t?，令v??0得s?20.因当s?20时4ss2v??0；当s?20时v??0，所以当s?20时，v可取最大值。故甲方向乙方要求
的赔付价格s是20（元/吨）时，可获得最大净收入。
1．4利用导数知识描绘函数图形
为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。 （1）曲线的渐近线
定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线 若曲线y?f(x)的定义域是无限区间，且有：limf(x)?b，
x???或limf(x)?b，则直线y?b为曲线y?f(x)的水平渐近线。
x???f(x)??，或lim?f()x??，则直线垂直渐近线 若曲线y?f(x)有：lim?x?cx?cx?c为曲线y?f(x)的垂直渐近线。
斜渐近线 若lim[f(x)?(ax?b)]?0成立，则y?ax?b是曲线的一条斜渐
x???近线。
下面介绍求a,b的公式。 由lim[f(x)?(ax?b)]?0有：
x???f(x)b?a?]?0
x???xxf(x)b?a?]?0 所以 lim[x???xxf(x)即 a?lim
x???x limx[
将a?limx???x???f(x)f[x?(a)?x(b?即可确定求出并代入limx???xb?limf[?x( a)xx2例10、求曲线y?的渐近线
x?1x2??，所以x??1是曲线的垂直渐近线 解：（1）因limx??1x?1（2）由a?limx??f(x)x?lim?1 x??xx?1x2?x?x]?lim??1 和b?lim[f(x)?ax]?lim[x??x??x?1x??x?1可知y?x?1是曲线的斜渐近线
（2）函数图形的作法
导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙。导数的出现
能更好的反应出导数的各种性态。
描绘图形的一般步骤如下：
①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；
②求出f'(x)，f''(x)；
③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；
⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出y?f(x)的图象。 例11、作函数y?4(x?1)?2的图形 2x解：函数的定义域为{x|x?0,x?R}
y'??4(x?2)8(x?3)''y?，
x3x4令y'?0，得x??2；
令y''?0，得x??3。列表如下：
x y' y'' y (??,?3) ?3 (?3,?2) ?2 (?2,0) 0 (0,??) — — ? — 0 拐点?26 9— + ? 0 + 极小值 ?3 + + ? 不存在 — 不存在 + 不存在 ? 4(x?1)?2]??,?x??2为曲线的水平渐进线 2x?0x4(x?1)?2]??,?x?0为曲线的铅垂渐进线 ?lim[2x?0x又?lim[曲线经过(1?3,0)，(1?3,0)，(?1,2)，
2(1,6)，(2,1)，(3,?)这几个点
9通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）
1．5利用导数求参数问题
利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸。
??2例12、（05湖北理）已知向量a?(x,x?1)，b?(1?x,t)，若f(x)?a?b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.
解：由向量的数量积定义，f(x)?a?b?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t
?f'(x)??3x2?2x?t，又f(x)?a?b在区间(-1,1)上是增函数，则f'(x)?0
?t?3x2?2x在 (-1,1)上恒成立.
令g(x)?3x2?2x在区间[-1,1]上，则g(x)max?g(?1)?5， 故在区间(-1,1)上使t?g(x)恒成立，
只需t?g(?1)即可，即t?5. 即t的取值范围是[5,??).