2．导数在曲线中的应用
曲线y?f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示为：曲线y?f(x)在点A(x0,y0)处切线的斜率。即f'(x0)?tan?。
利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题 例13、（2003全国高考题）已知抛物线c1:y?x2?2x和抛物线c2:y??x2?a，当a取何值时，c1和c2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。
解：函数y?x2?2x的导数y'?2x?2，曲线c1在点p(x1,x12?2x1)的切线方程是y?(x12?2x1)?(2x1?2)(x?x1)，即y?(2x1?2)x?x12 （1）
2函数y??x2?a的导数y'??2x，曲线c2在点Q(x2,?x2?a)的切线方程是2y?(?x)??2xx，即)y??2x2x?x12?a （2） 2?a2(x?2若直线l是过P和Q的公切线，则（1）式和（2）式都是l的方程
2??y?(2x1?2)x?x1所以? 2??y??2x2x?x1?a消去x2得方程2x12?2x1?a?1?0，由于公切线仅有一条，所以当
??4?8(1?a111)?，即0a??时解得x1??，此时公切线方程为y?x?。
224例14、已知P是抛物线y2?4x上的动点，求过P到直线x?y?5?0的最小距离。
解：（如图10）由y2?4x得y??2x 易知y??2x上的点到直线x?y?5?0的距离最小。
由y??2x得y'??1， x于是曲线y??2x上过点p(x,y)且与直线
x?y?5?0平行的斜率为k?y'??1??1，得x?1，则y??2， x
那么点p(1,2)到直线x?y?5?0的距离为|1?2?5|?22 2故抛物线y2?4x上的动点，求过P到直线x?y?5?0的最小距离为22。
3．利用导数研究方程的根
例15、已知f(x)?lnx,g(x)?x，是否存在实数k，使方程
1g(x2)?f(1?x2)?k有四个不同的实数根，若存在，求出k的取值范围；若不2存在，说明理由。
11解：令h(x)?g(x2)?f(1?x2)?x2?ln(1?x2)?k
222xx3?xx(x?1)(x?1)?? 则h(x)?x? 1?x21?x21?x2',0,1令h'(x)?0，得x??1.当x变化时，h(x)、h'(x)的变化关系如下表：
(?1,0) x h'(x) h(x) (??,?1) ?1 0 0 极大值0 (0,1) 1 0 极小值 1?ln2 2(1,??) — ? 0 极小值 1?ln2 2+ ? — ? + ? 1故存在k?(?ln2,0)，使方程有4个不同的实数根
24．应用导数证明不等式
利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。
例16、若x??1，证明：ln(x?1)?x 证明：令f(x)?ln(x?1)?x
1x?1??， x?1x?1又x??1，则x?1?0
则f'(x)?
则当?1?x?0时，f'(x)?0，f(x)为增函数 当x?0时，f'(x)?0，f(x)为减函数 所以当x?0时，f(x)取得最大值
因此当x??1时恒有f(x)?0，即x??1时，有ln(x?1)?x
例17、（2004年全国卷理工22题）已知函数f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，
a?b设0?a?b证明：0?g(a)?g(b)?2g()?(b?a)ln2
2'证明：由g(x)?xlnx有g(x)?lnx?1
a?x设F(x)?g(a)?g(x)?2g()
2a?x'a?x)]?lnx?ln则F'(x)?lnx?1?2[g( 22当0?a?x时，F'(x)?0，当x?a时，F'(x)?0因此，F(x)在区间(0,a)内是减函数，在区间[a,??)函数，在区间内为增函数，于是在x?a，F(x)有最小值F(a)?0又b?a，
a?b)； 所以o?g(a)?g(b)?2g(2a?x)?(x?a)ln2， 设G(x)?g(a)?g(x)?2g(2a?x')]?ln2?lnx?ln(a?x) 则G'(x)?g'(x)?2[g(2当x?0时，G'(x)?0，因此G(x)在区间(0,??)内为减函数； 因为G(a)?0，b?a，所以G(b)?0，
a?b)?(b?a)ln2。 即：g(a)?g(b)?2g(2a?b)?(b?a)ln2 综上述：0?g(a)?g(b)?2g(25．导数在数列中的应用
导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便。
例18、已知函数f(x)?2x?2?x，数列{an}满足f(log2an)??2n （1）求an；
（2）证明数列{an}是递减数列
解：（1）由已知有an?得an??n?n2?1 12??2n，即an?2nan?1?0 an又an?0，所以an??n?n2?1 （2）令f(x)??x?x2?1 则f'(x)?xx2?1?1，因xx2?1?1，所以f'(x)?0
所以f(x)是递减函数，则f(n)也是递减的 所以数列{an}是递减数列 例19、已知数列{n}，求此数列的最大项。
n?10000解：考察函数f(x)?10000?xx（x?1），则f'(x)?
x?100002x(x?10000)11，f(1)? 2001001令f'(x)?0，则x?10000，而f(10000)?而limf(x)?limx???x?0
x???x?10000x???将f(10000)，f(1)及limf(x)比较知，f(x)的最大值为f(10000)?故该数列最大项为第10000项，这一项的值为
1。 2001 2006．利用导数求极限——洛必达法则 6．1“0”型和“?”型
0?定理 若函数f(x)与g(x)满足条件：（1）limf(x)?limg(x)?0(或?)，
x?a(x??)x?a(x??)f'(x)（2）f(x),g(x)存在，且g(x)?0，（3）lim' 存在
x?ag(x)(x??)'''
f(x)f'(x)?lim'则必有：lim
x?ax?ag(x)g(x)(x??)(x??)ex?e?x?2x例20、求lim.
x?0x?sinxex?e?x?2xex?e?x?2ex?e?xex?e?x?lim?lim?lim?2 解：limx?0x?0x?0x?0x?sinx1?cosxsinxcosx6．2其他形式
0?洛必达法则只适应于“”型和“”型，对于其他式子，需要经过一系列
0?0?变换转化为“”型和“”型，在利用洛必达法则来求解。其步骤如下：（“?”
0?表示可转化为）
11①0??型???或0?
?0110?0②???型??型，再经过通分?型。
000?0③对于00型，1?型，?0型，先取对数?0??型，在利用①的方法求解。 例21、求下列极限
111?) ③limx1?x ①limx(?arctanx) ②lim(x?1x???x?1x?12lnx??解：①（0??型）limx(?arctanx)?lim2x???x???2 ②（???型）lim(x?1??arctanx1x121?x?lim?1 x???1?2x?11xlnx?x?11?)?lim?
x?1x?1lnx(x?1)?lnx2lnx1?x③(1型)limxx?1?11?x?limex?1?elimlnxx?11?x?e?1
7．物理学中的导数
导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容