湖南省长郡中学2013年高三五月模拟考试数学试题（理科）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。 1．设集合A?{x|
y?2x?x2},B?{y|y?2x,x?0}，则A∩B=
D．{x|x?1}
（ ）
A．{x|1?x?2} B．{x|1?x?2} C．{x|x?0}
2．已知?,?是两个不同平面，m,.n是两条不同直线，则下列命题不正确的是 ．．．
A．?//?,m??,则m?? C．n//?,n??,则?B．m/n,m??,则n?? D．m//?,m?n,则n??
（ ）
??
3．羊娃是第16届广州亚运会吉祥物，每组羊娃都由“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”和“乐
羊羊”这五只羊组成，现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者，则甲或乙得到“阿祥”、丙不得“乐羊羊“的方法种数为 （ ） A．24 B．36 C．48 D．54 4．已知平面区域??{(x,y)|x2?y2?1},M?{(x,y)||x|?|y|?1}，若在区域Ω上随机扔一
C．
（ ）
个点P，则点P落在区域M的概率为
A．
1 2?B．
1?
2? D．
3?
5．设有算法如下： 如果输入A=2010，B=99，则输出的结果是（ ） A．0 B．3 C．6 D．9
6．若二项式(ax?a16)的展开式中的常数项为?20?3(?为无理数），则?sinxdx?（ ）
0x A．-2 B．0 7．给出下列四个结论：
①命题“?x?R,2xC．1 D．2
； ?0”的否定是“?x?R,2x?0”
?1②给出四个函数y?x,y?x?,y?x?,y?x3，则在R上是增函数的函数有3个；
③已知a,b?R，则“不等式|a?b|?|a|?|b|成立”的充要条件是“ab?0”； ④若复数z?(m2?2m?3)?(m?1)i是纯虚数， 则实数m的值为-3或1。
C．2
D．3
（ ）
其中正确的个数是 A．0 B．1
8．给出数列
11212312k,,,,,,?,,,?,,?,在这个数列中，第50个值等于1的项的序．121321kk?11号是 （ ） ．
A．4900 B．4901 C．5000 D．5001 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9．为了调制一种饮料，在每10kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500g到1500g
之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在 g。 10．如图，AC为⊙O的直径，弦BD?AC于点P， PC=2，PA=8，则cos?ACB的值为 。 11．正三棱柱的底面边长为23cm，高为2cm，则它
的外接球的表面积为 cm2.（结果保留?）
??x?a?2cos?(?为参数，a为常数，a?0）有12．若曲线C1:??(??R)与曲线C2:?6??y?2sin?两个交点A、B，且|AB|=2，则实数a的值为 。
?y2x213．设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线y?x2?1相切，则该双曲线的离心
ab率等于 。 14．已知M是
，且AB?AC?23,?BAC?30°，若?ABC内的一点（不含边界）
?MBC,?MCA和?MAB的面积分别为x,y,z.
（1）x?y?z? ； （2）定义
f(x,y,z)?149??，则f(x,y,z)的最小值是 。 xyz15．设代数方程a02?a1x2?a2x4???(?1)nanx2n?0有2n个不同的根?x1,?x2,?,?xn，则
4n2nx2x2a0?a1x?a2x???(?1)anx?a0(1?2)(1?2)?
x1x2
x2；若已知展开式??(1?2)，比较两边x2的系数得a1? （用a0?x1?x2???xn表示）
xn
sinxx2x4x6sinx?0有无穷多个根：?1?????对x?R,x?0成立，则由于xx3!5!7!x2x4x6x2x2??,?2?,?,??n?,?,于是1??????(1?2)(1?22)
3!5!7!?2??
???(1?x2n2?)??，利用上述结论可得1?2111??????? 。 22223n三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知向量a?(sinx,23sinx),b?(2cosx,sinx)，定义f(x)?a?b?3.
（1）求函数
f(x)的单调递减区间；
f(x??)(0????)为偶函数，求?的值。
（2）若函数y? 17．（本小题满分12分）
“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆·贵宾厅”作
为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆·贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，
假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”的概率均为馆·贵宾厅”的概率为
1，陶艺入选“中国41。 3 （1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率； （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量?，
求?的数学期望。
18．（本小题满分12分）
下图分别为三棱锥S—ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA?SC，M、N分别为AB、
SB的中点。
（1）求证：AC?SB；
（2）求二面角M—NC—B的余弦值。 19．（本小题满分13分）
张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加
值，经过市场调查，旅游增加值
y万元与投入x(x?10)万元之间满足：
y?f(x)?ax2?101xx?bln,a,b为常数。当x?10万元时，y?19.2万元；当5010（参考数据：ln2?0.7,ln3?1.1,ln5?1.6） x?20万元时，y?35.7万元。 （1）求
f(x)的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值。（利润=旅游增加值-投入）
20．（本小题满分13分）
已知数列
{an}满足a1?1，点(an?an?1)在直线y?2x?1上，数列{bn}满足
b1?a1,bn111?????(n?2). ana1a2an?1 （1）求bn?1an?(bn?1)an?1的值；
10b1b2???bn(n?Nh*). 3 （2）求证：(1?b1)(1?b2)???(1?bn)? 21．（本小题满分13分）
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是
ab2坐标平面内一点，且|OP|?73。 ,PF1?PF2?（O为坐标原点）
24 （1）求椭圆C的方程； （2）过点S(0,?1)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，3使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和?MAB面积的最大值；若
不存在，说明理由。