中科教育2010年高中数学秋季讲义
指数函数、对数函数及幂函数
Ⅰ.指数与指数函数
1.指数运算法则：（1）aras?ar?s； （2）?ar??ars； （3）?ab??arbr；
srmn（4）a?a；
nm（5）a?mn?1nama,n奇 （6）nan????|a|,n偶
2. 指数函数：
指数函数 01 图 象 y?ax 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 【基础过关】
类型一：指数运算的计算题
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R (0,??) (0,1) 单调递减 单调递增 - 1 -
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此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、5?26的平方根是______________________
mn2、 已知a?2，a?16，则m的值为??????????????????( )
nA．3 B．4 C．a D．a
36b?(a?b)3、化简
1?a2?2ab?b2b?a的结果是????????????( )
D、2b?b?a?a
A、a?a?b B、a?b?a C、b?a?a
4313a?8ab4、已知a?0.001，求：a?2ab?4b32323?(1?23b)a=_________________
32?325、已知x?x?1?3，求（1）x?x=________________（2）x?x=_________________
12?12y?yy?yx?1,y?0x?x?______________ x?x?226、若，其中，则
类型二：指数函数的定义域、表达式
指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数
的图像及性质 函数y?af(x)的定义域与f(x)的定义域相同
1、若集合A={
xy?11?3x},B={
xs?2x?1},则A?B?____________________
1?x[1,2]y?f(x)y?f(2)的定义域是________ 2、如果函数的定义域是,那么函数
13、下列函数式中，满足f(x+1)=2f(x)的是?????????????????( )
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1?x?1?A、2
62 B、
x?14
C、2
x
D、2
?x
31?1?2a，则实数a的取值范围是????????????( ) 4、若4a?4a? A、a?2
B、a?1 2
C、a?1 2
D、任意实数
类型三：复合函数 1形如a○
2x?b?ax?c?0的方程，换元法求解
f(x)2函数y?a的定义域与f(x)的定义域相同 ○
f(x)f(x)y?a3先确定的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定的值域 ○
涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定
义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”
（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数
xxy?2?3?9?1的值域 1、求函数
2、当?1?x?0时，函数y?2x?2?3?4x的最大值是______________，最小值是__________
11?x?1x3、已知x?[-3,2]，求f(x)=42的最大值是______________，最小值是______________
（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数
1?2x2?8x?11、函数y=(3) (-3?x?1)的值域是______________，单调递增区间是__________ 1x2?2x?52、已知函数y=(3)，求其单调区间_____________________及值域_______________
类型四：奇偶性的判定
利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分
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x2?xf(x)?(1?a)?a1、函数是?????????????????( )
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
ax?1(a?1)xa?12、已知函数f(x)=
(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R上的增函数。
a?2x?a?2(x?R)x2?1?3、设aR,f(x)= ，试确定a的值，使f(x)为奇函数
类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用
xa?0a?1a1、已知，且，解不等式
2?6?a5x
2、已知f(x)=ag(x).
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2x2?3x?1,g(x)=ax2?2x?5 (a＞0且a≠1),确定x的取值范围,x?1使得f(x)＞
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Ⅱ.对数与对数函数
1、对数的运算：
1、互化：ab?N?b?logaN 2、恒等：alogaN?N 3、换底：
logab?logcb logca 推论1 logab?1 logba 推论2 logab?logbc?logac
nnlog?logab(m?0) mb 推论3 amM4、logaMN?logaM?logaN log?log?aaMN laNog5、logaMn?n?logaM
2对数函数：
对数函 01 图 象 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 y?logax (0,??) R (1，0) 单调递减 单调递增 【基础过关】
类型一：对数的基本运算
此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意
1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为lgN ○
2自然对数：以e=2.71828?为底的对数叫自然对数，记为lnN ○
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