1P.30 1—1 一质点在xOy平面上运动，运动方程为x?3t?5,y?t2?3t?4式中t以s计，x，y以m计。
2（1）以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式； （2）计算第1秒内质点的位移；
（3）计算t?0 s时刻到t?4 s时刻内的平均速度；
（4）求出质点速度矢量表示式，计算t?4 s时质点的速度； （5）计算t?0 s到t?4 s内质点的平均加速度；
（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算t?4 s是质点的加速度。
（位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）
??12?? 解：(1) 质点t时刻位矢为：r?(3t?5)i??t?3t?4?j(m)
?2????(2) 第一秒内位移 ?r1?(x1?x0)i?(y1?y0)j
??1??2?3(1?0)i?(1?0)?3(1?10)?j ?2?
???3i?3.5j(m)???r????1(3) 前4秒内平均速度 V???(12i?20j)?3i?5j(m?s?1)
?t4??dr???(4) 速度V??3i?(t?3)j(m?s?1)
dt????? ∴ V4?3i?(4?3)j?3i?7j(m?s?1)
(5) 前4秒平均加速度
?????VV4?V07?3?? a???j?j(m?s?2)
?t4?04??dV??j(m?s?2)(6) 加速度a?dt??a4?j(m?s?2)
P.31 1—2 质点沿直线运动，速度v?t3?3t2?2(m?s?1)，如果当时t=2 s时，x=4 m,求：t=3 s时质点的位置、速度和加速度。
解：v?dx?t3?3t2?2 dt x??dx??vdt?c?143t?t?2t?c 4当t=2时x=4代入求证 c=－12
1即x?t4?t3?2t?12
4v?t3?3t2?2
dv2a??3t?6tdt将t=3s代入证
1x3?41(m)v3?56(m?s?1)a3?45(m?s?2)
4P．31 1—9 一个半径R=1.0 m的圆盘，可依绕一个水平轴自由转动，一根轻绳子饶在盘子的边缘，其自由端拴一物体。在重力作用下，物体A从静止开始均匀加速的下滑，在?t=2.0 s内下降的距离h=0.4 m。求物体开始下降后3s 末，轮边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。
解：物体A下降的加速度(如图所示)为
2h2?0.42 a?2??0.2m/s2t2 此加速度也等于轮缘上一点在t??3s时的切向加速度，即
?at?0.2(m/s2)
在t??3s时的法向加速度为
?v?2(att)2(0.2?3)2an????0.36(m/s2)习题1-9图 习题1-10图 RR1.0
P. 32 1—10 一电梯以1.2m?s?2的加速度下降，其中以乘客在电梯开始下降后0.5s时用手在离电梯底板
1.5m高处释放以小球，求此小球落到底板上所需的时间和它对地面下降的距离。
a?1.2m/s2,t0?0.5s,h0?1.5m.如图所示，相对南面，小球开始下落时，它和电梯的速度为
v0?at0?1.2?0.5?0.6(m/s)
以t表示此后小球落至底板所需时间，则在这段时间内，小球下落的距离为 1h?v0t?gt2
2电梯下降的距离为
1h??v0t?at2
2又
1h0?h?h??(g?a)t2
2由此得
t?2h0?g?a2?1.5?0.59s
9.8?1.2而小球相对地面下落的距离为
h?v0t?12gt 21 ?0.6?0.59??9.8?0.592
2 ?2.06m
P.32 1—12 一架飞机从A地向北飞到B处，然后又向南飞回到A处，已知飞机相对空气的速率为v，空气相对于地面的速度为u，AB间的距离为L,飞机相对空气速度保持不变，求： （1）如果空气静止，飞机飞来回飞行的时间；
（2）如果空气的速度方向由南向北，飞机来回飞行的时间；
（3）如果空气的速度方向是由东向南，试证飞机来回飞行的时间t?2L/v1?u。 v22L2L ?vvLL2vL (2) t?t1?t2? ??22v?uv?uv?u2 解：(1) t?习题1-12图
22L??u?? ??1????
v???v???LL (3) t?t1?t2??,如图所示风速u由东向西，由速度合成可得飞机对
v?v????地速度v??u?v,则V??v2?u2.
?1t?2L2L???22v?v?u2L?u?v1????v?2 证毕
P．51 例 2—8 平静的河面上，以平底小船长为l= 11m, 质量M=500kg，以 ?0=2 m?s?1匀速率直线航行，船内一人逆航行方向从船头经 t=4 s 到达船尾，人的质量 m = 50 kg，忽略水对船的阻力。 求： （1）若人以任意速率相对船运动，他到达船尾时船的航行速率 ? ；（2）在t 时间内船的航行路程 s ；（3）如果人以变速率跑动，仍是在 t = 4 s 内到达船尾，上诉计算结果又如何？
解：（1）以船和人为研究系统，去地面为参考系， x 正方向为航行方向，如图所示。由于水平方向系统不受外力，故沿航行方向系统动量守恒。人静止站立在船头时系统的动量为(M?m)v0，设人以匀
l速率u?相对行走，由题意知，当人到达船尾时系统的动量为Mv?m(?u?v)，由动量守恒定律可得
tv?Mv?m(?u? )v (M?m)0mml5011u?v0??2??2.25(m?s?1) M?mM?mt500?504（2）由于人逆航行方向行走时，船以匀速率v前进，故船在t时间内的航行路程为
解得 v?v0? s?vt?2.25?4?9m(
（3）当人在船上以变速率逆航行方向行走，经t时间到达船尾时，由前面的解得到此时船速为
v?v0?Mm?mu
该式中u为人相对于船的速率，故船速为变速，视瞬时速率u而定。 在t时间内船相对地面航行的路程为
s??vdt??v0dt?00tttmmudt?vt?l0?0M?mM?m
?2?4?50?11?9(m)550
P.75 2—12 均匀柔软链条，质量为m，长为l，一部分(l?a)放在桌面上，一部分（长为a）从桌面边缘下垂，链条与桌面间的摩擦系数为?，问：（1）下垂长度多大时，链条才能下滑；（2）当链条以（1）所求得的下垂长度从静止开始下滑，在链条末端离开桌面时，它的速率是多大？ 解：（1）设链条的质量线密度为?，链条开始下滑时，其下垂直度为x0，应满足的条件是其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力，即：
x0?g??(l?x0)?g?x0??1??l
习题2-12图
（2）据功能原理Wr?E2?E1开始下滑时在桌面部分的长度
为y0?l?x0?力作功为
l当链条的A端从O点沿y轴运动到y0点过程中，摩擦1??Wr???fr?dy????(y0?y)?gdy0y0??g?l?2????y0???22?1??????g2
设桌面为势能零点，则链开始下滑到A端离桌面时的机机械能分别为
11??l?2?E1???x0g???g??22?1????
11E2??lv2??gl2222??g?1?12121??l??????lv??lg??g?于是有? ???2?1???222?1????化简可得v2?gl,1??v?gl 1??22P.77 2—23 一质量为m1?0.1kg的小球A，从半径R?0.8m的1/4圆形轨道自由落下，抵达轨道最低点时离河面距离h?5m,在该点原先已放置一小球B，其质量m2?0.4kg，密度?=0.5g?cm?3。它被A球碰入河中，设碰撞是弹性的，如图所示。B球落入河中后，未到河底忽又上浮，求B球浮出水面时距离河岸的水平距离s（水的阻力和B球落水时的能量损失均忽略不计）。 解：设s?s1?s2.如图所示，写出各个过程的相应方程 A?B：机械能守恒
12m1gR?m1v1 (1)
2B点碰撞：动量、机械能守恒
?mv?mv??mv(2)1122?11 ?112?212(3)?m1v1?m1v1?m2v222?2B?C：平抛运动
?s1?v2t1??12h?gt1?2?(4)(5)习题2-23图
m2在C点时:
?vcx?v2 ??vcy?gt1(6)(7)
C?D：m2以上述速度作斜抛运动，但其加速度由下式确定
?s2?vcxt ??2vcy?at(8)(9)
m2a?f浮?m2g?(1?水?1)m2g ??(??1)m2g(10)
由(8)、（9）、（10）可确定射程CD为
s2?2v?vcya?2vcxvcya(11)
联立（1）至（11）式可解证
????4m1Rh?2?s?s1?s2?1??4.8(m)
?1m1?m2??1?????P．77 2—29 一质量为m的弹丸穿过垂直悬挂的单摆摆锤后，速率由v减小到v/2，若摆的质量为M，摆线长为l，欲使摆锤能在铅直平面内完成以圆周运动，求弹丸的最小速度。
解：子弹与摆锤碰撞，水平方向动量守恒
v mv?m?Mv1 (1)
2v1为摆锤碰撞后之速度，摆锤获此速度后作圆周运动，在铅直面内机械能守恒
112 Mv12?Mv2?Mg2l (2)
22M2欲完成一圆周运动，摆锤在最高点必须满足条件 Mg?v2 (3)
l2M由（3）式得v2?gl代入（2）式得v1?5gl，再代入（1）式可得子弹的最小速度vmin?5gl
mP．77 2—30 以质量为M=10kg的物体放在光滑水平面上，并有以水平轻弹簧相连，如图所示，弹簧的劲度系数k?1000N?m?1。今有一质量为m?1kg的小球以水平速度v0?4m?s?1飞来，与物体M相撞后以
v1?2m?s?1的速度弹回。问：（1）M起动后弹簧能被压缩多少？ （2）小球m与物体M碰撞过程中系统
机械能改变了多少？ （3）如果小球上涂有粘性物质，相碰后粘在一起，则（1），（2）两问结果又如何？ 解：小球与弹簧振动系统相互碰撞，水平方向动量守恒
mv0??mv1?Mv (1)
V为弹簧系统的启动速度，它在被压缩过程中机械能守恒，设最大压缩长度为
xm，则有
112 (2) Mv2?kxm22将（1）、（2）两式联立求解得
xm?11m(v0?v1)??1?(4?2)?0.06(m) kM103?10