（2）碰撞是非弹性的，其机械能损失为
12?121? ?E损?mv0??mv1?Mv2?
22?2??12?1212?mv0??mv1?kxm?22?2?11?1? ??1?42???1?22??103?0.062?
22?2??4.2(J)(3) 小球与M完全非弹性碰撞，碰撞后弹簧被压缩，据此可列式
?mv0?(m?M)v???112 2?(M?m)v??kxm?2?2解得
2v042??xm??0.038(m) 3k(m?M)10(10?1)1212??mv0? 机械能损失 ?E损?kxm2211 ??1?42??103?0.0382?7.28(J)
22P．88 例3—5 一根长为L，质量为m的均匀细棒，可绕其一端固定的水平光滑轴竖直平面内转动。开始棒静止在水平位置。可求它由此下摆?角时的角加速度和角速度。
解：棒的下摆是由于重力对转动轴O的力矩作用而作加速转动。因为重力臂是变量，故重力矩
m为变力矩。在棒上任取一质元dm??dl(??)，在棒下摆任意角度?时，该质元的重力对轴O的元力矩是
L dM?lco?sgd?m?Lcfo?s ldl1 sgco?Ls2?mgc?o022可见，在计算重力矩时，我们可依认为整个棒的质量全部集中在棒的质心处。
整个细棒对轴O的力矩为 M??dM??gco?s?ldl??mgLco?s3gco?M1s?212?由转动定律，可得棒的角加速度为 ?? JmL2L3d?棒的角加速度也可由转动定律得 M?J??J?d?11将M?mgLcos?代入，分离变量可得 mgLcos?d?22d?d?d? J??Jd?dt?d1?mL2?d? 3化简后两边积分 3g?cos?d??2L??d?
00??nL/ 得 ??3gsi?
P．92 例3—7 如图所示，一根质量为m，长为l的匀质长棒可在竖直平面内绕其支撑点O转动，开始棒处在水平位置由静止释放，求（1）细棒释放时的角加速度；（2）棒落到竖直位置时的角速度。 解：（1）据题设，棒的重心C离支点距离OC?l/6。故重力对O轴的力矩为
l M=mg
6棒对轴的转动惯量为 J=JAO+JBO1ml212m4l21?(?)?(?)?ml2 3393399mgl3gM1?因此 ?==6 2J1ml2l9（2）棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系统机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则 1l 0=J?2?mg?( )26将J代入，化简后，可得棒到达位置时的角速度为 ??3g lP.111 3—7 如图所示，两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可绕水平中心轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量为m1和m2的两个物体。在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。
解：如图所示，由牛顿第二定律 对m1:T1?m1g?m1a1 对m2:m2g?T2?m2a2 对整个轮，由转动定律
1?12?T2R2?T1R1??M1R12?M2R2??
22??又由运动学关系 ???1/R1??2/R2 联立解以上诸式，即可得
习题3-7图
??(m2R2?m1R1)g 22(M1/2?m1)R1?(M2/2?m2)R2
P.112 3—18 一质量为m的小球系于轻绳一端，放置在光滑的水平面上，绳子穿过平面中一小孔，开始时小球以速率v1作圆周运动，圆的半径为r1，然后向下慢慢地拉绳子使其半径变为r2，求：（1）此时小球的角速度；（2）在拉下的过程中拉力所做的功。
解：（1）由于外力沿转动中心O，故外力矩恒为零，质点的角动量守恒，即
mV1r1?mV2r2mV1r1?mr2?2
r1V 21r2故小球作半径r2的圆周运动的角速度为 ??2??2??11mr122?（2）拉力F做功为 A??F?ds?mV2?mV1????1?V1 ??222??r2????P.113 3—19 如图所示，刚体由长为l，质量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连结在杆的一端而成，可绕过杆的另一端O点的水平轴转动。先将杆拉至水平然后让其自由转下，若轴处摩擦可以忽略。求：（1）刚体绕O轴转动惯量；（2）当杆与竖直线成?角时，刚体的角速度?。
J?J杆?J球 解：（1）
1242 2?ml?ml?ml33（2）在转动过程中无耗散力，系统机械能守恒，设初始时刻重力势能为零，有
1l0?J?2?mg(cos?)?mg(lcos?)
22解得： ??3gco?s 2lP．161 例5—7 求均匀带点球体的场强分布，已知球体半径为R，所带电量为 q（如图所示）。
解：由于电荷球形均匀分布，其电场线必由球心向外辐射，故以O为球心的各同心球面上场强量值相等，方向垂直球面向外，因此所有同心球面均可取作高斯面，电场强度处处与球面垂直且有相同的量值。假定球内P1点(r1?R)处场强大小为E1，通过P1点作半径为r1的球面S1，则通过球面S1的电通量为
4?r12E1。球体内的电荷体密度?=4，球面S1所包围的电荷为??r13，所以，按照高斯定理有 433?R343?r1/?04?R333 r1qq4?r12E1?
E1?q4??0R3可见，均匀带点球体内任意一点的场强E(r)与r2成正比。
再来确定球外一点P2处的情况。通过P2点作半径为r2的同心球面S2(r2?R)为高斯面，同理，设高斯面S2上电场强度的量值为E2，则通过球面S2的电通量为4?r22E2，由于球面S2包围了所有的电荷q，根据高斯定理
4?r22E2?q/?0得
E2?q4??0r22
可见，均匀带点球体外任一点的场强E(r)与r2成反比，即等价与球体上的电荷全部集中于球心处锁产生的场强。上述计算表明，均匀带点球体在空间的场强分布E(r)为
?1?4???0 E(r)???1??4??0qrR3qr2(r?R)
(r?R)P.170 例5—13 半径分别为RA和RB的两个同心均匀带电球面A和B，内球面A带电量?q，外球面B带电量?q。试求：（1）电势分布U(r)；（2）A，B两球面的电势差。 解：（1）根据高斯定理，可求得场强E(r)的分布为
?0? E??q?4??r20?(r?RA，r?RB)(RA?r?RB)?RA
在r?RA区间
U(r)??E?dr??E?dr??E?dr??E?drrrRARBRB???RBRA11dr?(?)24??0r4??0RARBRB?qq
在RA?r?RB区间
U(r)??E?dr??E?dr??E?dr0rRB???RBr11dr?(?)4??0r24??0rRBqq
在r?RB区间 U(r)???r E?d?r0（2）根据电势差定义式，可求得A，B两球面的电势差为 UAB?UA?UB??E?dr??ABRBq4??0r2RAdr?q4??0(11?) RARBP．200 5—14 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?，若在球内挖出一块半径为r(r?R)的小球体，如图所示。求两球心O与O’处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为匀强电场。
解：设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为??的两种电荷，则原带电荷等价于一个半径为R，电荷体密度为??的均匀带电球体和一个半径为r，电荷体密度为??的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这
???两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O处，E0?E1?E2，由于均匀
带电球体球心处的场强为零，所以
43?r?q13?r3 E0?E2???4??0d24??0d23?0d2方向由O指向O?。
???? 对于球心O?处，EO??E1?E2?E1
习题5-14图
4d?R3?qdd?3??∴ EO??E1?
3?04??0R34??0R3方向由O指向O?。
对于空腔内的任一点P，位置如图所示。
43?43????R?a?r?b???qaq?b??3?3 E?E1?E2? 3334??0R4??0r4??0R4??0r3????????? ?a?b?(a?b)?d
3?03?03?03?0以上计算表明空腔任意点的场强大小均为
?d且方向均由O指向O?，所以，空腔内为匀强电场。 3?0P．201 5—18 在A、B两点处有电量分别为+q，?q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正实验点电荷q0从O点经半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功。
解：电场力的功
??1q1q????? A0c?q0(u0?uc)?q0?0???? 4??3R4??R00???? ?q0q 6??0RP．201 5—24 半径为R1?1.0cm的导体球带电量为q?1.0?10?10C，球外有一个内、外半径分别为
R2?3.0cm和R3?4.0cm的同心导体球壳，壳上带有电量为Q?11?10?10C。试求：（1）两球的电势；
（2）若用导线把两球连接起来时两球的电势；（3）若外球接地时，两球的电势各为多少？
解：（1）内球电荷q均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q，外表面均匀分布电荷q+Q，由高斯定理可求得电场分布（略）
r?R1 R1?r?R2 R2?r?R3 r?R3E4?E1?0 E2?q
4??0r21E3?0
q?Q 24??0r1由电势定义可求得内球电势
u内??R2R1?q1q?Qdr??R34??0r2dr 4??0r21q?11?1q?Q??????4??0??R1R2?4??0R31?12?10?109?10?19 ?9?10?1.0?10? ???9?10?0.010.030.04???3.30?102Vu外q?Q1q?Q12?10?109??dr??9?10? 2R34??4??R0.04r003?1 ?2.70?102V
（2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外
球的外表面带有q+Q电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等